Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что ju,0 = 1 и рг = 0. р2 равен дисперсии: р2 =- (Т- = ? (ж — ж)2.
Интегралы (9) сходятся лишь тогда, когда F(u) при и —> СО
достаточно быстро стремится к нулю, а при и —> -j- оо достаточно быстро стремится к единице. Если для данного п интеграл (9) сходится, то говорят, что момент ап существует. В этом случае
§ 21. Характеристические функции 113
существуют моменты всех более низких порядков ах, ...,а.п_х, л также им соответствующие интегралы (10) и (II)1.
Если ап существует, то интеграл (3) можно п раз дифференцировать под знаком интеграла, причем
<p(n)(() = in J ип ейи dF(u). (12)
Докажем справедливость этой формулы для первой производной; для остальных производных доказательство будет точно гяким же. Рассмотрим отношение приращений
r—h)h~ ^ = | е»и — ~ 1 dF(u) (1:])
оо
и устремим Л к нулю. Предел дроби
1
h- = e- -------------ги
— hu
2
равен ги и абсолютная величина дроби не превосходит |м|. Из теоремы непрерывности, сформулированной в разделе В этого параграфа, непосредственно вытекает, что
(p'(t) = г e’lu dF(u). (14)
Так как ап существует и подинтегральная функция в (12) непрерывна по t, то <p<n>(i) также непрерывна по t. Для t = 0 иглучаем
(р(,,)(0) = гп а.п. (15)
1 Пусть 0 < к < и, тогда |и — с\к!\и\п —> 0 при [м' —> оо, т. с. найдется
1 ;iкое U, что |м — с\к1\и\п <:; 1 для всех |ы! > U. В силу очевидных неравенств
(S |л- — с\к = J |н — с|* dF J |м — р]'1" dF -J- j' | м — c\h dF
-s ^ jit — cjfc dF -j- | |u|n dF j |г/ — c|fc dF -f- J |u|n dF.
| и | > t/ | и | ^ и —~
Так как ofin последних интеграла конечны, то &(х — с)к существует. Доказательство существования хк и —х)к получается заменой с
на 0 или х. — Прим. перев.
''' Б. .Т. взп дер Варден - 1ио2
114
Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
Следовательно, если моменты ап существуют, то их можно найти посредством дифференцирования характеристической функции.
Если функция ф(?) является аналитической в точке t = О, то в некотором круге |<| < г ее можно представить в виде ряда Тэйлора, коэффициенты которого определяются моментами:
оо
Ф<0 = 2“-?(й)". (16)
о "¦
Как показал Крамер (Крамер Г., Математические метсды статистики, ИЛ, М., 1948, стр. 199), для справедливости формулы
(16) при \ t\ < г достаточно, чтобы ряр.^апгп/п\ сходился абсолютно.
Д. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
Как известно, обращение интеграла Фурье (4) задается формулой
т
f(u) = lim Г e~ilu cp(l) dt.
Г—too J
-T
Если левую я прагую части последнего равенства проинтегрировать от а до Ь, то получим
F( Ъ) - F(a) , -- lim j - I е—~Л- ф(/) dt. (17)
Т->оо 1
-T
Эту формулу можно записать и так:
F(u l h)— F(u — /г) — lim - Г e-<iu ^t.
Т—> оо^ J 1 —г
Как показал Поль Леви, формулы (17) и (18) сстаклся справедливыми и в том случае, когда F(u) не дифференцируема, а лишь непрерывна в точках а и Ь (соответственно в и — h и и -f t h). Доказательство можно найти, например, в книге Г. Крамера «Математические методы статистики», стр. 109. Там же указана еще и другая формула обращения, а именно
оо
j [F(« -L v) — F(и — «)] dv = ~ j e-ии фЦ} rft
0 —oo
Из формулы обращения следует, что
Функция распределения Flu) однозначно определяется своей характеристической функцией <p(t).
#22. Примеры 115
Однозначное определение F{u) в ее точках непрерывности непосредственно вытекает из формулы (17). Если Ъ — точка
разрыва функции F(u), то Ъ можно представить в виде предела
возрастающей последовательности точек непрерывности1 bv, и так как F(u) непрерывна слева в каждой течке, то справедливо равенство
F(b) = lim F{b„). (20)
Если, далее, av — стремящаяся к — оо последовательность точек непрерывности, ти
lim F(av) = 0. (21)
Вычитая (21) из (20), получим, что