Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если угол <р распределен равномерно в интервале между —тг/2 и я/2 (т. е. <р является случайной величиной, плотность распре-
в то время как дисперсия выборочного среднего М равна
Следовательно, дисперсия Z в тг/2 раз больше дисперсии М.
Однако существуют функции распределений, для которых выборочная медиана Z точнее выборочного среднего М. В ка-
У
'3 честве примера рассмотрим функцию распределения Коши
Рис. 14.
^(0 =1 + -arctg t, (2)
которой соответствует плотность вероятности
(3)
X = tg ср.
§ 20. Другие числовые характеристики распределения 107
деления которой в указанном интервале постоянна и равна 1 /зг), то х = tg <р имеет функцию распределения (2) и плотность вероятности (3).
Пусть х1 и х2 — независимые случайные величины с одинаковыми функциями распределения (2). Если по теореме III (§ 4) вычислить функцию распределения суммы ^ + х2, а затем — функцию распределения среднего
M2 = \{Xi + ж2),
то неожиданно окажется, что М2 имеет плотность вероятности, в точности равную (3). Среднее из двух таких средних
М1 = 4 (®1 + х2 + х3 + xt)
снова имеет ту же плотность и т. д. Следовательно, с помощью осреднения вообще нельзя добиться повышения точности1.
Напротив, если по выборке xlt.. ., хп нечетного объема п определить выборочную медиану Z, то, согласно § 17, ее распределение будет приближенно нормальным со средним значениям нуль и дисперсией
2 712
°~z ~ 4п •
Таким образом, с ростом п выборочная медиана становится все более и более точной оценкой для истинной медианы2 4 = 0.
У распределения с плотностью вероятности (3) дисперсия и среднее значение не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся.
Аналогично медиане ?, обе квартили и ?3 определяются как решения уравнений
=4 и *¦(&)=*-.
1 Для функции распределения (2) среднее значение х не существует. Поэтому здесь идет речь об оценке медианы С = 0. Так- как М имеет то же распределение, что и каждый элемент выборки, то нет оснований считать М более точной оценкой для ?, чем отдельное наблюдение х,-. — Прим. перев.
2 В случае распределения (2) плотность вероятности выборочной медианы Z для выборки объема п = 2т — 1 задается формулой
(2т — 1)! 1 ( 4 \m-i 1
ЫО = 7—- “Гм" 1 - -2 агс fS2 М
(т — 1)! (т — 1)! 2^-2 „ ^ Б ) 1 + 1г
Та к как | arc tg t \ ^ -. (1--- — | при t —» ± м , то /z(0 '= 0(\l
2 \ я \ t \)
Следовательно, дисперсия Z существует, если т 3, т. е. если о.
Аналогично математическое ожидание Z существует (и равно нулю), если п а® 3. — Прим. перев.
108 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
Приближенными значениями для ?i и ?3 служат выборочные квартили Zx и Z3, которые в общем случае определяются так. Пусть
тогда Zx и Z3 равны членам вариационного ряда с номерами q + 1 и п — q соответственно: Zx = x^+V и Z3 = х<-п-ч\ Таким образом, найдутся q элементов выборки х(, по величине меньших, чем Zx, и q элементов, по величине больших, чем Z3. Для п = Ат—1 это определение совпадает с определением, указанным в § 17.
Квартилям родственна старомодная мера разброса, называемая вероятным отклонением w. В случае непрерывной функции распределения F(t) вероятное отклонение w определяется условием, согласно которому случайная величина х с вероятностью J/2 должна принадлежать интервалу (?— ги, С + «>):
Если распределение симметрично, то ? — w и Q -\- w совпадают с квартилями:
& = 4 - ю, Q3 = С 4- го.
Для нормального распределения
Вместо сг или s в старой литературе часто пользовались величиной w. Однако к настоящему времени от этого отказались. Дополнительный расчет оценки го' для w по формуле
го' = 0,6745 s
представляет собой излишнюю вычислительную операцию.
Наряду сети® третьей традиционной мерой разброса является среднее отклонение б, которое определяется как математическое ожидание модуля \х — х\:
Выборочным приближенным значением для д является выборочное среднее отклонение d, которое определяется как арифметическое среднее абсолютных величин отклонений ж, — М:
F{Q -f w) — F(Q — w) = .
w = 0,6745 cr.
(4)
(6)
§ 20. Другие числовые характеристики распределения
109
В случае нормального распределения отношение б к о- равно некоторой постоянной. А именно если, путем изменения начала отсчета и изменения масштаба, случайную величину х нормировать так, чтобы после преобразования выполнялись условия х = 0 и сг = 1, то
