Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и вычислить квадраты их отклонений от «линии регрессии», которая, в некотором смысле, наилучшим образом сглаживает наблюденные точки, то с помощью суммы квадратов таких отклонений можно вывести лучшую оценку для средней ошибки отдельного наблюдения t;, а значит, и лучшую оценку для средней ошибки разностей tj — 1^. К этому мы вернемся в § 32 й 33.
В. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО М
До сих пор теория не зависела ни от каких специальных предположений о функции распределения случайной величины х. Гаусс обычно предполагал, что рассматриваемые случайные величины распределены нормально. Для обоснования этого предположения Гаусс выдвинул «гипотезу элементарных ошибок», которая гласит, что общая ошибка наблюдения является суммой большого числа независимых малых ошибок, порождаемых раз-
§ 27. Распределение a2
139
личными причинами и обладающих малыми дисперсиями. Таким образом, справедлива центральная предельная теорема (§ 24 Г):
Сумма очень большого количества независимых случайных величин, дисперсия каждой из которых составляет лишь малую часть от дисперсии всей суммы, имеет приближенно нормальное распределение.
Если, следуя Гауссу, предположить, что все xt подчиняются нормальному распределению, то их сумма, а значит, и выборочное среднее М, будут тоже иметь нормальное распределение. Поэтому имеет место правило:
Абсолютная величина разности М — х с вероятностью 0.95 меньше чем 1,96 сгм и с вероятностью 0,99 меньше чем 2,58 о-^, где сгм — средняя ошибка М.
При больших п указанные правила справедливы даже тогда, когда величины хх, . . ., хп имеют распределение, отличное от нормального. Это вызвано тем, что выборочное среднее М является суммой множества слагаемых, каждое из которых обладает лишь относительно малым квадратичным отклонением. Следовательно, согласно центральной предельной теореме, распределение М близко к нормальному распределению. Это тем более верно, если уже сами отдельные xt имеют приближенно нормальное распределение.
Применение сформулированных выше правил требует знания средней ошибки <тм. Можно ли, применяя эти правила, вместо истинной средней ошибки стм = cr/^п воспользоваться ее выборочным приближенным значением •?м = slh<$ Для ответа на этот вопрос мы должны сначала исследовать величину отклонения s2 от сгг или, иными словами, найти функцию распределения случайной величины s2.
§ 27. Распределение д2
А. СВЯЗЬ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ X2
Пусть хх, . . ., хп — независимые одинаково нормально распределенные случайные величины со средним значением х = а и квадратичным отклонением1 о-, и пусть снова
1 Если х1...хп имеют различные квадратичные отклонения а-^ . . ., сгп,
то вместо xi можно ввести новые величины
, Xi — а
*! =------.
°-i
которые распределены одинаково нормально с нулевым средним значением и единичкой дисперсией.
140
Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
(1>
(2)
Какова функция распределения случайной величины в2? Вместо в2 удобнее рассматривать величину
которая не изменяется при изменении масштаба на оси Ох. Заменой г на (х — а)/(г мы всегда можем добиться, чтобы среднее значение и квадратичное отклонение удовлетворяли условиям:
х = 0 и а- = 1. В этом случае
х* = 2(*,-= 2*1- пм* = 2^-1-(2х.Г, (3)
и плотность вероятности для каждого х1 равна
Так как хх,. . ., хп независимы, то их совместная плотность вероятности равна произведению
Кк, ¦ ¦ ¦. q = /(*,) т... т = -1- е~ +"+;'
(2л)»
Отсюда, по теореме II § 4, следует, что искомая функция распределения G(u) = р(^2 < и) равна m-кратному интегралу1
G{u) = J . . . J f(xx,. . ., хп) dxx. . . dxn =
= + "' + X')dXl---dXn.
(4)
(2л)’
x’cu
1 Обозначение переменных интегрирования н случайных величии одними и теми же буквами хх, . . ., хп логически не корректно, но удобно. Такие функции от Xj, как М, %2 и появляющиеся в следующем разделе ух, . . , уп> носят двоякий смысл: как случайные величины и как функции от переменных интегрирования.
§ 27. Распределение a2
141
Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
Область интегрирования х2<и является внутренней частью пространства, ограниченной поверхностью второго порядка %2= и или
2 xf — \ (2 г/)2 = и-
В случае п = 3, как легко убедиться, эта поверхность представляет собой некоторый цилиндр, расположенный в пространстве переменных х^, х2, х3. Постараемся ввести такое ортогональное преобразование координат, при котором ссь цилиндра переходит в первую координатную ось ноеой системы координат. С этой целью в качестве первой строки этого ортогонального преобразования выберем
У\. = xi + х2 4- • • • + тг= хп = М Уп .
