Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
150 Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
К сожалению, на этот вопрос нельзя ответить совсем точно. Вероятность того, что отношение D/sd превысит заданную границу, зависит (хотя и в незначительной степени) от неизвестного отношения истинных квадратичных отклонений сгх и сгу. Поэтому постановку вопроса несколько изменяют.
Согласно основной гипотезе, которую нужно проверить и, может быть, отвергнуть, различие между х и у является чисто случайным и истинные средние значения х и у равны друг другу. По если различие между хи у чисто случайное, то можно предполагать, что соответствующие средние ошибки <тх и сгу также равны друг другу. Таким образом, мы исходим из гипотезы, что х и у имеют не только одинаковые средние значения х = у = [х, но также и одинаковые квадратичные отклонения ст. Нужно проверить, согласуется ли найденная выборочная разность D = х—у с этой гипотезой?
Если истинные дисперсии <т\ и сг2 равны друг другу, то неразумно вычислять для них два различных приближенных значения й2 и В этом случае следует вычислить одно-единственное приближенное выражение для обеих дисперсий, а именно, взвешенное среднее s*2 и sj. Веса, которые следует приписать величинам в2 и в2, согласно § 26 Б, должны быть обратно пропорциональны дисперсиям случайных величин s2 и sj. Эти дисперсии, согласно §27 (11), равны
Следовательно, вес д2 относится к весу д2, как д— 1 к h— 1. Поэтому взвешенное среднее равно
_ (,g-l)sl + (h-l)s2v _2(х-Мх)* + 2(у-Муу .
(0_1) + (Л_1) g + h-2 ¦ ™
С помощью этого s2 образуем теперь
В большинстве случаев величина S2 лишь незначительно отличается от s%, вычисленной по формулам (1), (2) и (3). Если д = h или если sf = s?, то S2 = s2. Таким образом, результаты вычислений по формулам (1), (2), (3) и (4), (5), (6) практически будут одинаковыми.
Следуя Стьюденту и Фишеру1, построим отношение
2 о-‘ h— 1'
(5)
(6)
(7)
1 Fisher R. A., Applications of „Student's” distribution, Metron,
5 (1926), 90.
§ 29. Сравнение двух средних значений
151
и постараемся определить функцию распределения этого отношения в предположении, что справедлива гипотеза, согласно которой х1г. . ., xg и уи . . .,yh — независимые одинаково нормально распределенные случайные величины со средним значением ju, и квадратичным отклонением о\
Так как при одинаковом изменении масштабов осей Ох и Оу отношение t не меняется, то мы можем считать, что /х = О И (Г = 1. Положим
Xi = (9— 1) = 2 {x—xf,
X22 = (h-l)s$ = 2(y-y)2-
Тогда
(д + h - 2) 52 = х! + xl (8)
Покажем, что случайные величины хЬ Хг> х и У являются независимыми. Вероятность одновременного выполнения неравенств
®i Xi <~ х <С Ъ3,
а2 Х2 ^ у <
равна интегралу от совместной плотности вероятности системы случайных величин {хх,. . ., xg, ух,. .., yh):
J . . . J /(*!). . . /(xg) /(&) . . . f(yh) dx1... dxg dfh... dyh (10)
но области (9). Этот интеграл немедленно распадается на два множителя, из которых первый является интегралом по хЛ,. . ., xg, а второй — интегралом но ух,. . yh. Поэтому вероятность одновременного осуществления событий (9) равна произведению вероятностей
p|ai"Xi<4
I a3 ^ x < b3 ) I a4 ^ у < \ j '
Но в § 27 было доказано, что у\ и Мх независимы, следовательно, первый множитель в (11) снова распадается на два множителя
РК ^ Xi < М ' Р(аз ^ х < h).
То же самое справедливо и для второго сомножителя в формуле (11). Таким образом, мы в конце концов получаем произведение четырех вероятностей, соответствующих случайным величинам хЬ хЬ 'х и У• Этим завершается доказательство независимости указанных величин.
Их совместная плотность вероятности f{ult иг, vx, w2) в силу только что доказанной теоремы представляет собой произведение
152
Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
четырех плотностей вероятности. Формулы этих плотностей были выведены ранее в § 27: х2 имеет плотность вероятности
(распределение %2 с g — 1 степенями свободы), аналогично для xl
h—3 _ 1
g2(u) = а2и 3 е 2 ,
в то время как х и у распределены нормально с нулевым средним и дисперсиями \/д и 1/А соответственно. В силу независимости Xv Хг> х и У> случайные величины
также независимы. Вероятность одновременного осуществления двух событий сх =s х2 < dx и c2=s D < d2 равна четырехкратному интегралу от плотности вероятности f(ult и2, vlt v2), который распадается на два множителя:
Согласно § 27 Е, плотность вероятности для х2 снова является плотностью типа
с /= д + h — 2 степенями свободы, в то время как D распределена нормально с нулевым средним значением и дисперсией
