Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 61

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 178 >> Следующая


g; = UjU (г— 1.2,3). (13)

Этой прямой G принадлежит «истинная точка» Р, координаты

которой равны математическим ожиданиям результатов наблюдений: = Xj. Наблюденная точка X расположена где-то вблизи

от точки Р (рис. 19). Форма

Q = (xi —fi)2 + (х2 —?г)2 +

+ (*з-?з)2 (14)

представляет собой квадрат рас-

стояния между наблюденной точкой X и прямой G. Отыскание минимума Q равносильно отысканию на прямой G такой точки Р, которая менее

всего удалена от X. Следовательно, „ ...

~ ¦’Рис. 19. Метод наименьших

Р является основанием перпендику- квадратов,

л яра, опущенного из X на прямую G.

Формулы для вычисления координат основания перпендикуляра станут проще, ссли мы предварительно произведем ортогональное преобразование координат. В качестве одной из новых осей выберем прямую G, а две другие оси расположим перпендикулярно G. В новых координатах параметрическими уравнениями G будут являться:

т?! = аи, rj2 = Q, rj3 =¦ 0 (а2 = а? + а\ + af). (15)

В общем случае (г параметров и п величин xt) подпространство G задается параметрическими уравнениями

it atu -f b,v + . . . . (16)

Ортогональное преобразование можно записать в виде равенств

*< = 2е'кУх- (17)

Для того чтобы г новых координатных направлений лежали в подпространстве G, нужно, чтобы первые г столбцов матрицы (eik) являлись линейными комбинациями векторов (а;), (Ьг), .... Выберем в качестве первого столбца вектор (Aat), в качестве второго столбца — линейную комбинацию векторов (/ыа; + vbj) и т. д., а затем определим коэффициенты А, у, v, . . . из условия ортогональности.
166

Гл. VII. Метод наименьших квадратов

Если вычислить математические ожидания правых и левых частей (17), то получим равенства

Ь I ^ ^ikHk ’

где r)lt . . ., г]г представляют собой линейные комбинации и, v, . . ., а г]г+1, . . ., г]п все равны нулю, как это было в (15) для г = 1 и п = 3.

При ортогональном преобразовании форма Q остается инвариантной, поэтому в случае п = 3 имеем

Я = (У1 — T7i)2 + (У2 — т?г)2 + (Уз — Т7з)2. или, согласно (15),

Я = {Ух — T7i)2 + у\ + у1 (18)

Эта форма достигает минимума Q при = ylt следовательно, Vi = Ук 172 = т7з = О

и

Я = у\ + у\- О9)

Равенство (18) является выражением «теоремы Пифагора»:

(РХ)2 = (РР)2 + (ХР)2. (20)

Левая часть равенства (20) представляет собой форму Q, первое слагаемое справа равно (уг — г^)2, а второе слагаемое —

~Я = у\ + у1

В случае г параметров и п наблюденных величин получаем следующие обобщения формул (18) и (19):

Я = (У1 — T7i)2 + • • • + (Уг — т7г)2 + 2/м 1 + • • • + Уп> (21) Я = y2rti + ¦ ¦ ¦ + У1 (22)

И в этом общем случае Q можно также истолковать как квадрат расстояния ХР, но уже в п-мерном пространстве.

Случай неравноточных наблюдений подстановками

X- = X• СГ-

сводится к случаю, который только что был рассмотрен и проиллюстрирован геометрически.

Г. ТЕОРЕМА ГАУССА

Гаусс дал второе обоснование метода наименьших квадратов, опирающееся на следующую теорему:

Среди всех несмещенных оценок параметра f^, являющихся линейными функциями наблюдений х0 наименьшей дисперсией обладает оценка С.
§ 31. Средние значения и дисперсии оценок 6

167

Очень короткое доказательство этой теоремы Гаусса указано в работе Plackett R. L., Biometrika, 36 (1949), 458. Здесь будет воспроизведено доказательство, основанное на ортогональном преобразовании (17). Мы ограничимся случаем г = 1, п = 3, а обобщение для произвольных тип предоставим читателю.

Пусть Т — некоторая оценка параметра 01( являющаяся линейной функцией от xlt х2, х3, а значит, и линейной функцией от уъ уг, у3:

Т = с0 + Схух -\- с2уг + с3у3. (23)

Когда мы говорим, что оценка Т является несмещенной, то подразумеваем, что математическое ожидание Т является функцией от тождественно равной Математические ожидания у% и у3 равны нулю, а математическое ожидание ух равно г^, следовательно,

& Т = с0 + = с0 + схаи. (24)

По условию теоремы это выражение тождественно по и должно равняться

*>! = «? + и, (25)

поэтому

с0 = €° и с1 = У. (26)
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed