Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2 Qpi (aiu “1“ + . . . — It) = 0, г (12)
Если, следуя Гауссу, для краткости ввести обозначения
2 gflf = [gaa\, 2 9iaA = [gab],. . .,
то система уравнений (12) сведется в конце концов к системе нормальных уравнений
[даа]и + [gab]v + . . . = [gal], \
[gba]u + [gbb]v = [gbl], > (13)
158
Гл. VII. Метод наименьших квадратов
Количество нормальных уравнений равно количеству неизвестных параметров й1;. . ., i)r. Если все наблюдения равноточны, то можно считать, что все весовые множители д( равны единице. В этом случае (13) запишется более просто:
В способе записи нормальных уравнений я возможно ближе придерживался традиции, берущей свое начало от Гаусса. Вве дением матричных обозначений запись системы уравнений можно бы было несколько сократить, однако старомодный способ записи
(14) очень удобен для приложений. Обычно и lt
записывают столбцами и затем вычисляют коэффициенты [аа] или \_даа\ и т. д.
Системы уравнений (13) или (14) всегда имеют решение, так как положительный квадратичный многочлен всегда достигает минимума. Однако решение не обязательно является однозначным. Может случиться, что нормальные уравнения однозначно разрешимы лишь для некоторых определенных линейных комбинаций параметров и, v, . . ., а относительно самих и, v,. . . однозначного решения нет1. Следуя индийскому статистику Рао2, такие линейные комбинации параметров мы будем называть допускающими оценку.
Чтобы исследовать точнее, какие функции параметров допускают оценку, рассмотрим линейные формы
Пусть среди них имеется, например, ровно р линейно независимых форм {р *s г). Без ограничения общности можно считать, что линейно независимыми формами являются А1( ...,А„ и что все остальные Ар+1, ...,А„ через них выражаются линеино, поэтому
(11) можно записать в виде квадратичного многочлена, зависящего только от А1;. . ,,Ар. Квадратичная часть этого многочлена представляет собой сумму
Р п п р
где А,- при г> р являются линейными комбинациями А1; . . ,,Хр. Эта сумма обращается в нуль тогда и только тогда, когда все
1 Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы (13) или (14) строго меньше количества уравнений и неизвестных г. — Прим. перев.
* R а о С. R., Advanced Statist. Methods in Biometric Research, New York, 1952.
[iaa]u + [ab]v + . . . — [aZ], \ba]u + \bb]v 4- . . . = [bl~\,
(14)
А,- = atu + btv + . . . .
(15)
§ 30. Выравнивание ошибок наблюдений
159
Xj, . . .Др равны нулю, поэтому она положительно определена. Как известно, всякую положительно определенную квадратичную форму порядка р невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к сумме р квадратов:
? л А? + 2 д,Ц = (м1)2 + • ¦ ¦ + (мр)2, i=l i=p+l
где yj {j = 1,2,...р) — независимые линейные формы от
А1( . ..,А„. Форма Q получается из этой квадратичной формы добавлением некоторой линейной функции от Ax, . ..,Ар, поэтому приданном линейном преобразовании Q будет иметь вид
Q = (М1 _ С1)2 + . . . + (Jjj> _ СР)2 _|_ (С0)2_
Эта форма достигает минимума (с0)2 в точке у1 = с1,..., у? = ср. Следовательно, ца1, . . ., у?, а вместе с ними и А, допускают оценку. Отсюда заключаем, что.
Только те линейные формы параметров и, v, . . . допускают оценку, которые представимы в виде линейных комбинаций форм
(15).
Если вместо прежних переменных и, v,. . . ввести новые переменные At, ...,Ар, то относительно последних система нормальных уравнений будет однозначно разрешимой. В дальнейшем мы будем предполагать, что такая замена уже произведена, и поэтому система нормальных уравнений имеет единственное решение.
Простейшим способом решения систем (13) и (14) является совсем примитивный школьный способ, указанный еще Гауссом. По этому способу первое уравнение разрешают относительно и и результат подставляют во все остальные уравнения и т. д. При вычислениях целесообразно в левых частях (13) и (14) заменить символические коэффициенты их числовыми значениями, а свободные члены справа оставить неопределенными. В этом случае решение будет представлять собой линейные комбинации свободных членов:
и = Л11 [gal] + Л12 + . . ., \
v = Л21 [gal] + Л22 [дЫ] + ...,> (16)
где hik — элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов системы (13).
Вычислив и, v, . . ., находят € по формулам (6) и А — по формулам (10). Так как результаты этих вычислений представляют собой не истинные значения € и А, а лишь оценки этих параметров,
160
Гл. VII. Метод наименьших квадратов
то мы обозначим их С и Л. Зная А, можно получить оценки для? по формулам
Ь/ = + Л;
и оценки поправок k-t для наблюдений1
kl=?l-xi = bl-li. (17)
