Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 59

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 178 >> Следующая


Если оценки € сильно отклоняются от начального приближения й° и если функции (1) не являются линейными, то вычисления нужно повторить еще раз, приняв за начальное прибли-

жение € вместо С0.

При практических расчетах контроль вычислений, безусловно, необходим. В качестве одного из способов контроля можно использовать то обстоятельство, что величины kir согласно (12), должны удовлетворять условиям:

[даЩ = 0, \

[gbk] = 0, (18)

Другой способ контроля основан на вычислении минимума Q для формы Q, определяемой равенством (11). Значения Az, при которых форма Q достигает минимума, в точности равны Af, поэтому имеет место равенство

Q = 2 я Ah - = Z д№ - [дЩ. (19)

С другой стороны, простое выражение для Q можно, согласно (18), получить так:

Q = 2 я Ah — h) fa — h) = 2 я A— h + aiu + b,v + ...)k,=

= — [яЩ + [gak]u + [gbk]v + ... = — [glk].

Если теперь kt снова заменить на А,-— 1и то найдем:

Q = 1яЩ — [ЯаЦи — [gbl]v — .(20)

Формула (20) служит для вычисления Q, а (19) — для контроля.

Согласно (16), и, v, . . . представляют собой линейные функции от наблюденных отклонений 1{ = хг—

и = аг1г + . . . + ап1п, \

v=0A + ...+0а1п, (21)

1 У Гаусса оценки поправок обозначаются Л;.
§ 30. Выравнивание ошибок наблюдений

161

Коэффициенты а,-,. можно легко вычислить по формулам

(16):

a,. = gt (Л»а, + А«Ь, 4- . . .). (22)

Для практических вычислений формулы (21) и (22) не имеют никакого значения, но они нам понадобятся в следующих параграфах для вычисления дисперсий.

Пример 18 (из книги Helmert F. R., Die Ausgleickungsreclmung, Leipzig, 1872). При построении триангуляционной сети Швердом в районе Шпейера определялись углы между направлениями из основного пункта D' в пункты А, В, W, Н и Л\ Шверд произвел многократные измерения, арифметические средние которых указаны ниже:

В А (90 измерений) 19°25'59",42 BW (80 измерений) 34°18'43",61 AW (70 измерений) 14°52'44",33 HW (20 измерений) 15°34'58",80 ВН (20 измерений) 18°43'45",60 NA (40 измерений) 12°26'24",65 BN (60 измерений) 6°59'34",51 NH (20 измерений) 11°44'11",60

Многократностью опытов удалось в значительной мере компенсировать инструментальные ошибки. Следовательно, мы можем предположить, что наблюдения лишены систематических ошибок, и выбрать веса g пропорциональными числу измерений. За неизвестные А,- примем четыре угла: BN, ВН, ВА и BW, через которые можно выразить все остальные. В качестве начальных приближений выберем измеренные значения этих четырех углов; таким образом, мы получим

BN = 6°59'34",51 + и,

= ВН ^ 18°43'45",60 -I- v,

д3 — В А = 19°25'59",42 + гс,

it^BW = 34°18'43",61 + г.

Восемь углов = ВА, . . ., f8 = NH, как уже говорилось выше, выражаются через эти неизвестные:

= В А ^ 1 9°25'59",42 + w,

^ BW = 34°18'43",61 + t,

f3 - AW ---- 14°52'44",19 — w + t,

is = NH ’ ’=’ i i°44'l 1",09 — и + V.

Коэффициенты этих выражений а,-, Ь,-, с,-, rf;, веса g, и отклонения Z; указаны в следующей таблице:

9 a ь с d 1
9 0 0 -11 0 0
8 0 0 0 + 1 0
7 0 0 ---1 + 1 + 0,14
2 0 ---1 0 + 1 +0,79
2 0 + 1 0 0 0
4 -1 0 + 1 0 ---0,26
6 -и 0 0 0 0
2 -1 + 1 0 0 + 0,51
11 Б. Л. ван д;р Варден - 1062
162

Гл. VII. Метод наименьших квадратов

Соответствующие нормальные уравнения имеют вид

12 и — 2v — 4 w — —0,02,

—2и + &v — 2« = +0,56, —4 и + 20ги — 71 — —2,02,

(23)

—2v — 7 w + 17 г = +2,56.

Заменив правые части уравнений (23) буквами А, В, С, D и затем решая эту систему относительно и, v, w, t, получим «неопределенное» решение вида

Коэффициенты правых пастей (24) являются элементами h11, . . . , hl* матрицы, обратной матрице системы (23). Если в (24) вместо А, В, О, D подставить свободные члены уравнений (23), то получим

и = —0,032, v — —0,065, w=—0,067, t =+0,115.

При этом поправки к,• равны

Теперь можно вычислить Q по формуле (19) или (20). Находим, что, согласно обеим формулам,

Оценки полученные по методу наименьших квадратов, являются линейными функциями результатов наблюдений хк и, следовательно, случайными величинами. Вычислим их средние значения и дисперсии.

Пусть система нормальных уравнений (13) § 30 имеет единственное решение и, v, . . ., которое мы обозначим теперь и1, . . ., иг, а сами нормальные уравнения запишем в виде
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed