Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и выберем, например, р = 0,01, то К будет являться верхней границей для у2, причем х2 лишь изредка будет превышать границу К. Если же положим
то получим нижнюю границу. К', причем лишь в редких случаях X2 будет меньше этой границы.
Случайные величины х2 и s2/cr2 связаны соотношением (10), следовательно, верхняя граница для s2/cr2 определяется верхней границей К для х2> т- е- ПРИ заданном сг2 величина сг2 К If является верхней границей для s2, а при заданном s2 величина в2 ЦК является нижней границей для сг2. Точно так же из нижней границы К' получается верхняя граница s2f/K‘ для сг2. Вероятность1 нарушения каждого из этих неравенств в отдельности s2f/K < <г2 и s2f/K' > сг2, равна
(П)
Д. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ S'
G(K) = р(*2 < К) = 1 - р
G{K') = р(х2 < К') =/3.
1 См., например, Слуцкий Е. Е., Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятностей х2> изд. АН СССР, М., 1950. — Прим. перев.
§ 28. Критерий Стьюдента
145
Е. АДДИТИВНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Хг
В § 23 была доказана теорема: если две независимые случайные величины подчиняются распределению %2 с f и g степенями свободы, то сумма этих величин имеет распределение с / -j- g степенями свободы. Эту теорему можно легко доказать непосредственно, не пользуясь характеристическими функциями. Случайные величины '/Л и xi имеют те же функции распределение, что и суммы
Ух + • • • + У) и у}+1 + . . . + yf+g
независимых одинаково нормально распределенных случайных величин у1г. . ., yj+g с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Следовательно, х\Л~х\ имеет такую же функцию распределения, как и сумма
У1 + ...+ y}+g,
т- е- Xi + Хг подчиняется распределению у- с / + д степенями свободы.
§ 28. Критерий Стьюдента
Вернемся к вопросу, поставленному в конце § 26. Можно ли, применяя правило
°"М
или
\М — х °"М
1»96, с вероятностью 0,95, < 2,58, с вероятностью 0,99,
заменить в знаменателе сгм на sM?
Для ответа на этот вопрос нужно найти функцию распределения для отношения
о)
SM
Прежде всего упростим задачу.
Смещением начала отсчета на оси Ох можно добиться равенства х = 0, и в этом случае
1 ~ • (2) «м ^ ’
При изменении масштаба на оси Ох отношение t остается неизменным, поэтому мы можем считать, что сг = 1. Если числитель
Ю Б. Л. ван дер Верден - 1002
146 Гл. I. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
и знаменатель (2) умножить на ^п, то, в обозначениях § 27, получим
<=Щ-=• (3)
ЯМ г п S
Умножая в (3) числитель и знаменатель на f/ = Уп—1 и
принимая во внимание равенство fs2 = %г, найдем
* = Ц VT. (4)
Таким образом, задача отыскания функции распределения
И (а) случайной величины t сводится к вычислению вероятности
события
Vi
Если мы положим
I К/ < о. (5)
*=?• <6>
то неравенство (5) упростится:
У1 < сх. (7)
В § 27 В было доказано, что ух и х1 независимы, следовательно,
плотность вероятностей пары случайных величин (уи х2) равна произведению плотностей вероятности ух и х2'-
НУ) д(г) =у= е_2 “ az*/-1 е_2г, (8)
Поэтому искомая вероятность имеет вид H(a) = a'jje ге 2 хdy dz =
С У Z
Л 1 1 Г* 1
= a! J 221 1 е 2 ~ dzJ е 2 Н dy |a' = y^r-
(9)
Для того чтобы при интегрировании по у верхний предел был постоянным, сделаем подстановку у = х ^z:
if 28. Критерий Стьюдента 147
H(a) = a' z 2 e 2 dz \e 2 dx (10)
0 —00
и изменим порядок интегрирования, что допустимо в силу положительности подинтегралытых функций:
С оо
Н(а) — a' j dx j"z 2 e 2<lrX>ZJz.
(П)
Интегрируя no z, получим, согласно § 12 (2), гамма-функцию
о
Поэтому
с а
Н(а) =YJ(1 + x*)~~^dx = ^rj(l + !*) (12)
где
у = a Я-^Г(Ш) = . (13)
Формула (12) является решением поставленной задачи. Интеграл Н{а) можно вычислить в элементарных функциях. Плотность вероятности случайной величины t задается равенством
