Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
\п уп )П
Сумма квадратов коэффициентов этой строки равна единице, поэтому, согласно § 13, мы можем найти остальные п— 1 строк ортогонального преобразования
У‘1 = ®21 Х1 а22 Х2 а2п Хп
Уп = аШ Х1 + ап2 Х2 + • • • + апп Хп ¦
Если теперь мы выразим через новые переменные, то, в силу
равенства ^ xf — ^ yf, получим
= — xi)2 = — у\ = у\ + • • • + у\. (5)
Таким образом, поверхность с уравнением х2 = и действительно является цилиндром. Модуль функционального определителя ортогонального преобразования равен единице, поэтому преобразованный интеграл имеет вид
G(u) = (2*rf *j\ . . . . dyn.
Х'са
Так как уравнение границы области интегрирования не зависит от ylt то мы можем произвести интегрирование по уг:
G(u) = (2я)~^е~^в[ dyxj. . + + . .dyn =
—оо JC'CU
(2я) Х\ ...je ^(^+" +s:)dy2...dyn, (6)
х'си
где для краткости положено X — (п — 1)/2.
142 Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
Если ylt , , уп считать случайными величинами, то результат
(6) можно получить еще более простым путем. Плотность вероятности для у та же самая, что и для х:
одинаково нормально распределенные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Случайная величина у2 = у\ 4- . . . + у\ не зависит от ylt поэтому ее функция распределения может быть найдена интегрированием только по уг....Уп• В этом и заключается результат (6).
Как было доказано в § 23, функция распределения суммы квадратов у\ + . . . + у\ является функцией распределения у1 с / = п— 1 степенями свободы:
Ранее этот результат был очень просто получен е помощью «характеристической функции». Однако интеграл (6) можно вычислить и независимо от предшествующих результатов, воспользовавшись преобразованием к полярным координатам (§ 11). Первая из полярных координат, обозначаемая обычно буквой г, в нашем случае называется у, так как у1 — у\ + . . . + у% Таким образом, получаем
Так как условие у- < и не зависит от угловых координат, то можно произвести интегрирование по dQ:
\"и
В силу результатов § 12, а также в силу того, что А = (п — 1)/2,
так как xi ~ 2 У1- Следовательно, ух
уп — независимые
U
1
О
О
следовательно,
I
I
§ 27. Распределение s-
143
Если теперь в качестве новой переменной интегрирования выбрать v = х2, то получим в точности ту же формулу, что и (7).
Интеграл в правой части (7) является неполной гамма-функцией. Соответствующая плотность вероятностен равна
Я—1 — - и
д(и) = а и е 2 для и > 0. (8)
в. НЕЗАВИСИМОСТЬ М И Х~
Тем же методом можно определить вероятность одновременного осуществления двух событий: < и и Ъ == М < с, где Ъ и
с — произвольные числа, удовлетворяющие условию Ъ < с:
р = \ • • • J/(*!, • • • . *„) dx1 • • • dxn.
y}<u.
Ъ =s М < с
Действительно, если ввести то же самое ортогональное преобразование координат, которое было указано выше, то получим произведение двух интегралов: в перЕом интеграле интегрирование производится по переменной у,, в пределах от Ъ^п до с]{п, а во втором — по области интегрирования < и, не зависящей от ух\
с У л
Р =(2п)~ * J е~ * у! dy, (2rr)-^J . . . J е~ * *’ dy2. . . dyn =
b Vn
= p(b *SL M < c) p(x2 < u).
Таким образом, при любых и и Ъ < с вероятность одновременного осуществления двух событий Ъ =s М < с и 0 у1 < и равна произведению вероятностей этих событий. Это и означает, что случайные величины М и х2 независимы.
Следовательно, совместная плотность вероятности пары случайных величин (М, у2) равна произведению плотностей вероятностей М и х2- Плотность вероятности М нормальна с квадратичным отклонением а-м, а плотность вероятности х2 задается формулой (8).
Г. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ X1
Среднее значение и дисперсия случайной величины Q = х2 были уже указаны в § 23; их можно легко получить непосредственно по формуле (8):
144 Гл. VI. Гatjccoea теория ошибок и критерий Стьюдента
&Q = o- j гПЩ 2;+1ЛА+1) =
О
оо
О
= 4А(А + 1) = /2 + 2/,
0-5 = g Q* - (6 QY = 2/ = 2 (я - 1).
(9)
Ранее было установлено, что
Поэтому среднее значение в2 равно сг2 (этот результат был получен в § 26 (16)), а квадратичное отклонение s2 равно
Значения функции G(u) можно определять с помощью существующих таблиц неполной гамма-функции1. Эти таблицы позволяют найти такую границу К, для которой событие х2 < К имеет заданную вероятность. Если положим
