Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и = 0,00978 А + 0,00375 В + 0,00247 О + 0,00146 D,
v = 0,00375 А + 0,01890 В -f 0,001 78 С + 0,00296 D,
w = 0,00247 А + 0,00178 В + 0,00650 С + 0,00289 D,
t = 0,00146 А + 0,00296 В + 0,00289(7 + 0,00742 D.
(24)
кг = —0,067, *5 г= —0,065,
*гг = +0,115, кЛ — +0,225,
к3 = +0,042, к7 = —0,032,
Jfc4 = —0,609, к„ = —0,543.
Q = 1,71.
§ 31. Средние значения и дисперсии оценок #
А. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
(1)
В этом случае решение (1) равно
и1 — У1 b'ifj,
(2)
§ 31. Средние значения и дисперсии оценок 6
103
где (h‘J) — матрица, обратная матрице (йу):
11, если г = к,
2Щ, = Ц = |0>если,-^. (3)
Соответствующие оценки Ъ запишутся в виде равенств
= ?? + «* (*= 1, . . г). (4)
Для упрощения вычислений средних значений ?д. мы в качестве
выберем истинные значения параметров При практических расчетах равенства 6JJ = конечно, может и не быть, так как
истинные значения неизвестны, но при теоретическом вычисле-
нии средних значений и дисперсий это допущение не окажет никакого влияния на результат1. Таким образом, вместо (4) мы напишем
ik = 0k + и«. (5)
Так как выбраны равными истинным значениям Ик, то соответствующие равны — математическим ожиданиям xt. Поэтому математическое ожидание разности
Ь = (6)
равно нулю. Отсюда, согласно (21) § 30, следует, что ик также имеют нулевые математические ожидания. Поэтому, в силу (5),
Математические ожидания оценок ьк равны истинным значениям параметров €к.
Это же самое можно выразить и так:
Оценки Ик лишены систематических ошибок, или
Оценки i\ являются несмещенными.
Б. ДИСПЕРСИИ
При вычислении дисперсий мы будем исходить из предположения, что все X; являются независимыми случайными величинами с постоянными дисперсиями <г?, не зависящими от С. В § 30 веса д( были выбраны обратно пропорциональными дисперсиям о-f, следовательно, мы можем положить
9i°f = a"i. (7)
1 Это утверждение автора, безусловно, верно тогда, когда функции (1) § 30 линейны. В противном случае будет лишь приближенное равенство <Ь(^° -г w*) (V ?'(&к + причем разность между левой и правой частями, вообще говоря, стремится к нулю прп неограниченном возрастании числа, наблюдений п. — Прим. перев.
11*
164
Г л. VII. Метод наименьших квадратов
Величина сг2 равна дисперсии наблюдения, которому соответствует вес, равный единице, поэтому сг2 называют «дисперсией на единицу веса».
Согласно (5), дисперсия дк равна дисперсии ик, для вычисления которой мы снова воспользуемся формулами (21) § 30. При к = 1 имеем
и1 = и = -f . . . + ajn. (8)
Так как все lt — независимые случайные величины с дисперсиями сг?, то дисперсия и равна
= afo-2 -f...+ a2cr2. (9)
Это же выражение, согласно (7), можно записать так:
о V
_ ^ а‘ 0i
или, согласно {22) § 30,
(rl = H 9i (Л1Ч- + hl2bi + ¦ ¦ .)2<г2 =
= (huhu [gaa] -j- 2huh12 [jab] + h12h12 [gbb] +...)cr2.
Величины [gaa\,. . . являются коэффициентами нормальных уравнений. Эти коэффициенты мы обозначили буквами hy, поэтому
сг2 = (21 У h'J h,k hlk) о-2 (10)
i к
или, в силу (3),
cr2u = h^cr2. (11)
Точно так же при к — 2 получим
сг2 = Л22сг2 (12)
и т. д.
В. НАГЛЯДНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
Для геометрической иллюстрации метода наименьших квадратов мы рассмотрим случай, когда имеется лишь один неизвестный параметр (г = 1) и три равноточных результата наблюдений. В этом случае наблюденные значения xlt хг, х3 можно истолковать как координаты наблюденной точки X в пространстве переменных хъ х2, х3.
В качестве начала координат примем точку ?°, которая соответствует начальному приближению, введенному в § 30. Предположением же, согласно которому ?° совпадает с истинной
точкой ?, мы теперь пользоваться не будем.
§ 31. Средние значения и дисперсии оценок S
165
Уравнения (7) § 30 являются параметрическими уравнениями некоторой прямой линии. Так как в данном случае имеется лишь один параметр и, по предположению, все if = 0, то уравнения прямой упрощаются:
