Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оо оо JL 7 к
<p{t)= 2 Рк <м = е~х 2 77) = - е~Х (}"ei> - ' e4t“ -1)- (10)
о о *•
Произведение двух таких функций с параметрами Aj и А2 снова является функцией вида (10) с параметром А = Ах + А2. Отсюда следует, что
Сумма двух независимых случайных величин х1 и х2. подчиняющихся распределению Пуассона со средними значениями А, и А2, снова имеет распределение Пуассона со средним значением Ах -j А2.
118 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
§ 23. Распределение %2
В связи с гауссовой теорией ошибок астроном Ф. Р. Хель-мерт исследовал суммы квадратов нормально распределенных случайных величин и при этом пришел к функции распределения G(u), которую позднее К. Пирсон назвал функцией распределения Хг. Для отрицательных и функция G(u) = 0, а для неотрицательных и
И
G(u)= а^у ге 2'У dy,
(1)
где Я =//2 и / — натуральное число, которое, по Р. А. Фишеру, называется числом степеней свободы. Множитель а определяется так, чтобы выполнялось равенство G(<x>) = 1, т. е.
а = WFW ' {2)
Соответствующая плотность вероятности задается формулой д(и) = а и 1 е 2 ° (и > 0). (3)
В простейшем случае Я = 1 (две степени снсбеды) и плотность вероятностей является показательной функцией
д(и) = \е 2 “ (и > 0). (4)
Случай Я = 1/2 (одна степень свободы) получается прямо из нормального распределения, согласно следующей теореме:
Если случайная величина х распределена нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то х2 подчиняется распределению %2 с одной степенью свободы.
Для доказательства этой теоремы нужно лишь вычислить вероятность события хг < и. Она равна
\ и I и 1
G{u) = ^ Г е -г dz = =- j е 2 ~ dz.
\ J j 2зг J
- Уй 0
Если теперь в качестве новой переменной интегрирования выбрать у ~ z-, то немедленно получим искомый результат
G(u) = yyj У 2 е 2 " dy.
(5)
О
§ 23. Распределение х2
119
Перейдем теперь к остальным случаям. Характеристическая функция распределения у2 имеет вид
оо
Г Я — 1 — и + ilu
<р(1) = \аи е 2 du. (6)
о
Выбирая в качестве новой переменно?} интегрирования v = = (Vjj — it)u, получим
<p{t) = 2* (1 — 2 it)~* a J гЛ-i e~v dv, (7)
где интегрирование производится в комплексной плоскости v вдоль полупрямой, которая расположена в правой полуплоскости и уходит из нуля в бесконечность. Уравнение этой прямой
где t фиксировано, а и возрастает от 0 до оо. Этот путь интегриро-гания можно перевести в положительную часть действительной оси; значение интеграла от этого не изменится. Следовательно, интеграл в (7) равен Г(1), поэтому
9^) — (1 — 2г'4)Л ' ^
Первый и второй моменты распределения %2 можно легко вычислить либо по определению момента
оо оо
ап = J ип dG(u) ¦— J ип g(u) du, о о
либо по формуле (15) предыдущего параграфа. Мы получим ах = 2А = /,
а2 = 4Л (А + 1 )=Р + 2/.
Отсюда находим среднее значение и дисперсию случайной г.еличилы у, подчиняющейся распределению %2:
&У — ах = f, (9)
o'2 = б У1 - (б У)~ - «2 - - а\ = 2/. (10)
Пусть теперь у и z — независимые случайные величины, под-
чиняющиеся распределению с степенями / и /' свободы соответственно. Согласно (8), характеристические функции у и z равны
—1 I —-г
(1 —2/1) 2 и (1 —2г'() 2 .
120 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
Их произведение снова является характеристической функцией того же самого вида. Отсюда следует, что
Если две независимые случайные величины у uz подчиняются распределению хг с f и F степенями свободы соответственно, то их сумма у + z имеет распределение х2 с / + /' степенями свободы.
Справедливость этой теоремы можно также проверить прямым вычислением интеграла
по формуле (7) § 4 Б. Вычисление сведется к бета-функции. Таким образом, можно избежать применения характеристических функций; правда, при этсм будет больше выкладок.
Само собой разумеется, что эта теорема остается справедливой и для сумм Уг + ... + уп, где п > 2. В применении к сумме квадратов нормально распределенных случайных Ееличин с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями эта теорема гласит:
