Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 19. Поправки Шеппарда Ю1
* ! к х --- а | к (х -- а) к (х ---
___ J
16 1 --- 12 --- 12 144
19 3 - 9 ! ---27 243
20 1 2 --- 8 ! --- 16 128
21 3 --- 7 I ---21 147
23 3 --- 5 | --- 15 75
24 I 2 - 4 ; --- 8 32
25 | 12 --- 3 ---36 108
26 j 4 --- 2 --- 8 16
27 7 --- 1 . --- 7 7
28 4 0 0 0
29 ! 8 1 8 8
СО 9 2 18 36
о
31 6 1 3 ! 18 54
32 7 4 | 28 112
33 | 4 5 20 100
34 : 4 6 1 24 144
35 i 4 7 28 196
36 3 8 j 24 192
37 ! 3 9 27 243
39 1 ! и 11 121
а 90 1 56 2106
Поправка для выборочного среднего 56 : 90 = 0,62 Выборочное среднее М -- 28,62
п (М — а)2 = 35 Г (х — Л/)2 = 2106 — 35 = 2071
Выборочная дисперсия s2 -= 2071 : 89 = 23 Выборочное квадратичное отклонение s — 4,9
§ 19. Поправки Шеппарда
Оба следующих раздела (§ 19 и 20) можно пропустить. Главная их цель — облегчить читателю знакомство с литературой, в которой зачастую идет речь о поправках Шеппарда, «вероятных ошибках» и т. п.
Наблюденные значения хг, . .., хп часто округляют или группируют, т. е. объединяют в большие классы. Если класс с номером к содержит значения xt, заключенные между тк—Л/2 и тк + Л/2, то тк называется серединой класса. Пусть пк — количество наблюденных значении х в к - м интервале. Если в фор-
102 Г л. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
муле (3) § 18 все х, заменить серединами соответствующих классов тЛ, то вместо М получим его приближенное значение
м' = ±2пктк, О)
и аналогично вместо «§
so = — z)2. (2)
М' может случайно оказаться несколько больше или несколько меньше, чем М, но разность М' — Ж в среднем равна нулю; напротив, s'02 в среднем несколько больше, чем Для того чтобы в этом убедиться и определить поправку, которую нужно вычесть из s'02 , чтобы получить мы предположим, что все интервалы имеют одинаковую длину Л, а номера интервалов меняются от —оо до +оо. Класс с номером 0 расположен между точками1 t — Л/2 и t + Л/2, класс с номером к — между точками t + kh — Д/2 и t + kh + Л/2. Если, кроме того, мы выберем начало отсчета так, чтобы было х = 0, то
М’ = ^2nk{t + kh), s0 = — 2 nk{t + khy.
Математические ожидания M' и s'g получаются из этих формул заменой пк их математическими ожиданиями прк. При этом
рк = ^ + kh + I Л) _ + kh - \ Aj
есть вероятность того, что х лежит между t + kh — Л/2 и t + + kh 4- Л/2. Таким образом,
A{t) = ? [*¦(/+АЛ + ^л) -F[t. -\-kh _^л)](^^Л), (3)
B(t) = gsf = ^ + *Л + \ Л) - + kh _ Lй)| (/ -f- kh)'1. (4)
Оба выражения (3) и (4) являются периодическими функциями от t. А именно они переходят сами в себя при замене / на / + Л.
В большинстве случаев эти периодические функции почти постоянны, т е. они мало отличаются от постоянных составля-
1 t является, таким образом, абсциссой середины нулерого класса. — Прим. ред.
19. Поправки Шеппарда
103
ющих своих рядов Фурье и поэтому приближенно равны соответствующему интегральному среднему значению1. Величиной интегрального среднего полезно интересоваться даже и в тех случаях, когда функции (3) и (4) значительно отличаются от постоянных. Действительно, выбор границ между классами t khA-+ h/2 довольно произволен и, в известном смысле, случаен, поэтому t можно рассматривать как случайную величину, которая равномерно распределена в интервале от 0 до h. В этом случае A{t) будет также случайной величиной, среднее значение которой равно интегральному среднему
h
(5)
о
аналогично для B(t)
h
(6)
о
1?сли (3) подставим в (5), то получим
h
hA =2' + kh +л) — .ф + kh — J- л)j (/ л. kh)dt
о
(fc + l)7i
tdt.
(7)
Отсюда интегрированием по частям находим
hA =
1 Так будет, если функция распределения удовлетворяет известным условиям. Строгий вывод поправок Шеппарда см. в книге Г. Крамера, Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, § 27.9. — Прим. ред.
104 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий