Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда собственному значению Ai соответствует линейное подпространство = (г>1, ... , Vk), состоящее из всех собственных векторов, принадлежащих к этому значению. Точно так же А2 соответствует пространство УКъ, и т. д. Пусть теперь матрица В коммутирует с А. Тогда В должна преобразовывать пространства 9^, 9^ в самих себя (а именно, если v вектор в тогда Av = Aiv). Отсюда следу-
ет ABv = BAv = BXiv = AiBv, а это обозначает, что Bv опять принадлежит К
Предположим теперь, что наша теорема доказана для пространства с меньшим числом измерений (для измерения 1 она тривиальна). Тогда в пространствах 91/*, ... , 9lm все преобразования А, В, ... одновременно относятся к главным осям. Этим и доказывается теорема.
¦
Левую часть векового уравнения (7.7) можно рассматривать как детерминант | А — XЕ\ матрицы А — XЕ. Среди его коэффициентов особенно важен коэффициент при (—A)n_1, так называемый «шпур» или след А
S(A) = ап + а22 + • • • + апп,
1гГ. е. имеют вид ХЕ, где Е — единичная матрица, а Л — обыкновенное число. (Прим. ред.).
§ 8. Группы
43
а также независящий от Л член детерминант \А\. Так как левая часть |А — ХЕ\ векового уравнения остается инвариантной при преобразовании матрицы А к другому базису
\Р~гАР - \Е\ = |Р~г(А - \Е)Р\ = \Р\~г\А “ ХЕ\ ' 1Р1 = \А~ ХЕ1 то и все ее коэффициенты тоже инварианты. В частности
SiP^AP) = 5(A).
§ 8. Группы
Совокупность Q элементов а, Ь, с, ... какого-либо типа (например, чисел, преобразований) называется группой, если она удовлетворяет следующим четырем условиям.
1) Каждой паре элементов а, Ь соответствует «произведение» а • Ъ (или ab), которое тоже относится к Q.
2) Ассоциативный закон: ab • с = а • Ъс.
3) Существует «единичный элемент» е или 1 со свойствами ае = = еа = а.
4) Для каждого элемента а из Q существует в Q обратный элемент а-1 так, что а • а-1 = а-1 • а = 1.
Если ab = Ьа, группа называется абелевой.
Если элементами группы являются преобразования (например, линейные) или перестановки (перестановки предметов), а произведение ab — преобразование или перестановка, возникающая, когда применяют сначала Ъ, а потом а (как в §7), то ассоциативный закон 2 выполняется автоматически. Единица е обозначает «тождественное преобразование», оставляющее все объекты неизменными, и а-1 обратное преобразование, уничтожающее преобразование а. Следовательно, множество (неособенное) преобразований является группой, если оно для каждой пары, преобразований содержит также их произведение и для каждого преобразования содержат также обратное ему. То же самое имеет место для групп перестановок.
Например, вещественные вращения трехмерного пространства вокруг неподвижной точки образуют неабелеву группу, группу вращения Ьз. Более общую группу получим, применив еще и отражение. Вращения вокруг неподвижной оси образуют абелеву группу. Преобразования Лоренца, т. е. вещественные несингулярные преобразования
44
Глава II
четырехмерного пространства, оставляющие инвариантной квадратичную форму х2 + у2 + z2 — c2t2 и не меняющие направление течения времени, образуют группу Лоренца. Линейные преобразования в п-мерном векторном пространстве с детерминантом, равным единице, образуют особую линейную группу Сп. Унитарные преобразования с детерминантом, равным единице, образуют особую унитарную группу Un. Перестановки п предметов образуют симметричную группу &п.
Перестановки симметричной группы могут быть определены следующим образом. Пусть, например, Р перестановка цифр 1, 2, 3, 4, 5, переводящая 1в5, 5в4, 4в1и далее 2 в 3 и 3 в 2. Тогда пишут Р = (1 5 4) (2 3). Способ записи показывает, что Р является произведением двух «циклических перестановок» (1 5 4) и (2 3). Точно так же (1 2 3 4) обозначает циклическую перестановку, которая переводит 1 в 2, 2 в 3,
3 в 4 и 4 в 1.
Вышеуказанный «циклический способ записи» особенно удобен, когда речь идет о том, чтобы определить перестановку QPQ-1, «сопряженную» с перестановкой Р. Для этой цели запишем Р как произведение циклических перестановок и применим перестановку Q к символам, входящим в эти циклы. Пусть, например,
Р = (1 2 34 5), Q = ( 2 3),
тогда
QPQ-1 = (1 32 45).
В любой группе 0 элементы tst-1, сопряженные с элементом s, образу-
ют класс сопряженных друг с другом элементов группы.
Каждая перестановка может быть записана как произведение транспозиций типа (zfc), переставляющих только эти две цифры. Например,
(1 2 34 5) = (1 2) (2 3) (3 4) (4 5).
Четные перестановки, т. е. произведения четного числа транспозиций сами по себе образуют группу, так называемую знакопеременную груп-пу 21„.
Во многих абелевых группах элементы, составленные из а и Ъ, обозначаются не через а-b, как ранее, а через а + Ъ. В этом случае пишут О вместо 1 (так как а + 0 = а) и — а вместо а-1 (так как — а + а = 0). К этим аддитивным группам относятся, например, все векторные пространства, которые удовлетворяют соотношениям 2-4 [при аддитивном способе записи, например, (а + Ь) + с = а + (Ь + с)].
