Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ми оператора Hq, а решением различных приближенных задач собственных значений, и поэтому не образуют ортогональной системы. Мы все же предполагаем, что функции <ри образуют замкнутую систему или, по крайней мере, что собственные функции ф полного оператора Н
N
с достаточным приближением могут быть заменены суммой Сцфцч
1
причем сумма содержит большое, но конечное число членов. Задача собственных значений Нф = Еф тогда принимает вид
X = Е X Wv (5.8)
В «нулевом приближении» Hipд = Е^ср^ и приравнивание коэффициентов слева и справа дает, как и прежде, то, что в нулевом приближении все Сц равны нулю, за исключением тех сд, характеристические значения которых Ец в нулевом приближении совпадают с Е. Вместо того чтобы, как это мы делали ранее в (5.3), разлагать обе части по что сопряжено с известными трудностями вследствие неортогональ-ности <р\, образуем из обеих сторон (5.8) скалярное произведение с ср\ для Л = щ п + 1,... , п + к — 1:
§ 5. Теория возмущений
31
{ф\,фц) ПРИ А ф /л очень мало, так как (р\, как почти собственные функции оператора Н, образуют почти ортогональную систему. Точно так же (ср\,Н<рц) очень мало для Л ф //, так как Нср^ почти равно Ецфц. Если мы отбросим эти малые члены, которые, кроме того, умножены на малые коэффициенты (следовательно, для Ц ф п,п + 1,... , п + к — 1) соответственно тому, как мы ранее пренебрегали членом с г2, то остается конечная система уравнений, аналогичная (5.6)
п-\-к — 1 п+к — 1
X сЙ((рх,Н1рЙ) = Е X
п п
Положим для сокращения (ср\,(рц) = g\n и (ср\,Н<рц) = тогда наша система уравнений принимает вид
п+к — 1
X (h\p - Egx^fy = 0.
П
Исключение Сц дает опять вековое уравнение
|hXp - Egx„\ = 0,
откуда в первом приближении определяются значения энергии.
Если в вышеприведенных вычислениях не пренебрегать малыми членами с // = n, п + 1,... , п + к — 1, т. е. принимать во внимание
N
всю сумму ^ Сцфц и увеличивать 7V, то мы будем получать вековые 1
уравнения все возрастающей степени, из которых мы все с большей точностью будем определять значения энергии. Это — метод Ритца для приближенного решения задачи собственных значений.
Теорию возмущений можно применить так же для исследования поведения заданной волновой функции при возмущении, зависящем от времени. Изложение этого вопроса можно найти в учебниках по квантовой механике.
32 Глава I
§ 6. Момент импульса и бесконечно малые вращения
Компонентам момента импульса /-электронной системы по § 2 соответствуют операторы
ду)
(6.1)
где суммирование производится по всем электронам. Оператор для квадрата углового момента определяется выражением
t?Z2 = tf{Ll+Ll + Ll).
Операторы Lx,Ly,Lz непосредственно связаны с пространственным вращением.
При вращении вокруг оси z всех точек (ж, г/, z) конфигурационного пространства электрона на «бесконечно малый» угол 8а координаты x,y,z изменяются на
5х = —у8а; 5у = х8а\ Sz = О
(с точностью до величин, малых по сравнению с 5а). При вращении D пространства функция = ^(эс,у, z) переходит в функцию Иф = фг, определяемую выражением1
i/}'(Dq) = ф(д) или ip’(q) = V>(-D_1g),
где D~x — обратное или инверсное вращение. Таким образом,
ф'(х, у, z) = ф(х — Sx, у — Sy,z — Sz),
Н = = §*«#- = (»g -*§*)««•
Операция — К0Т0Рая вслеДствие приращения функции ф
при вращении 8а определена с точностью до величин высшего порядка,
хЭто значит, что графическое изображение функции (система ее поверхностей уровней в пространстве) подчиняется вращению D.
§ 6. Момент импульса и бесконечно малые вращения
33
называется бесконечно-малым вращением вокруг оси Z. Для функции от многих переменных ,qf) приращение при одновременном вра-
щении всех точек </i,... , qf на тот же самый угол определяется оператором
Как можно легко показать, операторы Ix,Iy,Iz удовлетворяют соотношениям коммутативности
В случае поля с шаровой симметрией собственные функции определенного уровня энергии при любом вращении, а следовательно, и при бесконечно малом вращении 1х,1у или /*, переходят опять в собственные функции того же уровня энергии; таким образом, линейная совокупность этих собственных функций всегда претерпевает линейное преобразование. Для одного электрона собственная функция является произведением функций /(г) на шаровую функцию I-той степени Y\. При операциях Ix,Iy,Iz она претерпевает определенное линейное преобразование. Множитель /(г) остается инвариантным и поэтому несущественен. Например,