Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Векторное пространство имеет еще одну особенность: его элементы (векторы) можно не только сочетать сложением друг с другом, но и
§ 8. Группы
45
сочетать путем умножения на (комплексные) числа; умноженный на в вектор тоже дает вектор и мы имеем
9(и + v) = ви + 9v. (8.1)
Вообще, когда к элементам аддитивной группы применяются определенные «операторы» или «множители» в со свойствами (8.1), то говорят о группе с операторами. Например, каждую систему линейных преобразований векторного пространства вместе со всеми числами в можно рассматривать как операторную область для этого векторного пространства.
Часть элементов группы, образующая группу с тем же законом сочетания а-Ъ, называется подгруппой. Чтобы это имело место, она должна содержать вместе с а и Ъ также и а-Ъ, вместе с а также и а-1. Например, знакопеременная группа 21п является подгруппой симметричной группы &п.
В случае аддитивной группы подгруппа должна соответственно содержать элементы а + Ъ и —а. Для группы с оператором требуется, помимо того, чтобы подгруппа вместе с а содержала и ва (допустимая подгруппа). Например, подпространство векторного пространства является допустимой подгруппой; совокупность векторов, представляющих собой целые кратные одного вектора, образует недопустимую подгруппу.
Наиболее общим примером подгруппы неабелевой группы G является центр 0, состоящий из таких элементов ?, которые коммутируют со всеми элементами 0.
Из подгруппы Q группы 0 путем умножения всех элементов Q слева на любой фиксированный элемент а группы 0 получается «сопряженная система» или «смежный класс». Два элемента а, Ъ относятся к одной и той же сопряженной системе, если Ь~ха принадлежит к Q. Две различные сопряженные системы не имеют между собой общих элементов, и все эти системы, вместе взятые, образуют группу 0. Например, сопряженными системами 21п в &п являются четные и нечетные перестановки.
Если умножить элементы сопряженной системы (ад) на элементы другой сопряженной системы (&0), то не всегда получается сопряженная система по отношению к Q. Это имеет место, однако, в том случае, когда подгруппа Q идентична со всеми «сопряженными» с ней подгруппами а0а-1. Такая подгруппа называется нормальным делителем. Например, 21п является нормальным делителем ©п. Точно так же центр любой группы всегда является ее нормальным делителем, тогда как &п не является нормальным делителем ©n+i. Если помножить сопряженные системы aQ и bQ нормального делителя Q указанным
46
Глава II
образом друг на друга и если трактовать полученную сопряженную систему abQ как произведение обеих исходных, то эти системы, рассматриваемые как элементы, тоже образуют группу, так называемую, дополнительную группу 0/0. В абелевой группе (например, в векторном пространстве) все подгруппы являются нормальными делителями. Таким образом, в этом случае можно всегда построить дополнительную группу. Для построения дополнительной группы векторного пространства УК = (ei, ... , еп) для подпространства X = (vi, ... , vn) объединяют в одну сопряженную систему все векторы, получающиеся из какого-либо вектора, путем прибавления всех векторов рассматриваемого подпространства и трактуют эти системы как элементы новой аддитивной группы. При умножении на число в подпространство переходит в самое себя (т. е. оно является допустимой подгруппой) и поэтому каждая сопряженная система переходит в сопряженную систему. Поэтому можно применять умножение на число в и для сопряженных систем, так что группа, элементы которой являются сопряженными системами, снова является также группой с операторами. Если дополнить базис подпространства (vi, ... , vm) до базиса всего пространства прибавлением дальнейших линейно-независимых векторов vm+i, ... , vn, то получается сопряженная система из всех векторов c\V\ Л---bcm+ivm+i Н-----\~cnvn с фиксированными коэффициента-
ми cm+i, ... , сп. Следовательно, разные сопряженные системы могут быть однозначно представлены векторами cm+ivm+i Н------\-cnvn. Отсю-
да следует, что дополнительная группа У\/х является (п — т) -мерным векторным пространством.
Вообще, в каждой аддитивной группе с оператором в все сопряженные системы подгруппы 0 можно умножить на оператор в (предполагая, что подгруппа является допустимой), т. е. дополнительная группа У\/х является группой с той же областью операторов.
Если каждому элементу а группы 0 соответствует элемент а группы 0 так, что произведению ab соответствует произведение ab (и поэтому единичному элементу — единичный элемент, а обратному — обратный) и если при этом каждый элемент 0 по крайней мере раз встречается, как соответствующий элементу а, то говорят, что группа 0 является гомоморфным изображением 0. (Например, пусть 0 — симметричная группа &п. Приведем в соответствие каждой четной перестановке число +1 и каждой нечетной — число —1. Тогда 0 будет группа, элементами которой являются числа +1 и —1.)
Если различным элементам а, Ъ соответствуют различные отображения а, Ъ (что в предыдущем примере имеет место только при п — 2), то отображение называется изоморфным, а группы — изоморфными; они
