Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Соответственным образом определяется прямая сумма более чем двух подгрупп. Их обозначение
В = Cti + • • • + Ct/i
хЭтот закон является частным случаем общего закона изоморфизма в теории групп
03/21-ОЗЭ,
в котором 03 — объединенная группа, Э — общий наибольший делитель подгрупп 21,03. Этот закон имеет место, поскольку 21 является нормальным делителем См.: Б. JI. Ван-дер-Варден. Современная алгебра. Т. I, §40.
2 В случае неабелевых групп надо еще добавить требование, чтобы й и Ъ были нормальными делителями В.
52
Глава II
показывает, что каждый элемент ? может быть однозначно представлен суммой а\ + • • • + ah- Критерием для этого служит то, что каждое имеет только нулевой общий элемент с суммой предыдущих й\.
Аддитивная группа 0 с операторами (в частности, векторное пространство при каком-либо представлении) называется неприводимой или минимальной, если она не содержит никаких инвариантных подгрупп (кроме самой себя и нуля). Она называется полностью приводимой, если является прямой суммой неприводимых (дозволенных) подгрупп
0=01 + -" + 0Л-
Точно так же представление называется полностью приводимым, если таковым является принадлежащее ему векторное пространство; тогда представление имеет «приводимую форму»
Э = ?)! + ••• + Dh.1
В !!)„ могут входить, конечно, эквивалентные пары.
Пример полностью приводимого представления.
Возьмем три базисных вектора ei, е2, ез и подвергнем их всем перестановкам симметричной группы ©з
(1 2) в! = е2 (12 3) в! = е2
(1 2) е2 = в! (12 3) е2 = е3
(1 2) е3 = е3 (12 3) е3 = е.
Тогда мы получим представление перестановочной группы с помощью линейных (унитарных) преобразований. Представление приводимо, так как вектор s = е1 + е2 + ез инвариантен при всех перестановках; последнее относится также к подпространству или «лучу» ti, состоящему из всего многообразия sa. Перпендикулярное к этому лучу подпространство, которое образовано разностями е\ — е2, е2 — ез, тоже инвариантно
и, как легко видеть, не содержит более никаких инвариантных подпространств. Поэтому трехмерное векторное пространство 0 полностью приводимо
® = ti + t2,
1 Матрица представления имеет при этом следующий вид:
А =
( Ai 0 \
А2
\ О Ан )
где матрица А1 относится к неприводимому представлению 2)^.
§ 9. Эквивалентность и приводимость представлений 53
и представление распадается на два неприводимых представления 1-ой и 2-ой степени. Матрицы этих представлений могут быть легко определены. Представление 1-ой степени является «тождественным представлением», при котором каждой перестановке соответствует единичная матрица. Представление 2-ой степени обладает матрицами
Унитарные представления (представления с помощью унитарных преобразований) и вообще системы унитарных преобразований всегда полностью приводимы (или неприводимы), потому что, если векторное пространство приводимо и Г инвариантное подпространство, то распадается на t и на строго перпендикулярное к нему инвариантное подпространство t'. Если одно из этих двух пространств опять приводимо, то оно распадается таким же образом и т. д.
Встречающиеся в квантовой механике представления унитарны, потому что при любых вращениях или перестановках распространенный по всему фазовому пространству интеграл
остается инвариантным.
Смысл приводимости представлений для квантовой механики заключается в следующем. Когда уровни энергии системы, например многоэлектронной системы, приближенно известны при пренебрежении некоторыми членами в выражении для энергии, которые далее вводятся как возмущающие члены eW (при постепенном возрастании е от нуля), то во многих случаях бывает известно, что возмущающие члены инвариантны относительно той же группы 0, как и невозмущенный оператор Hq.
Как невозмущенные, так и возмущенные функции при операциях группы Q претерпевают ряд линейных преобразований, которые приводимы или неприводимы. В пределе г —>• 0 преобразования возмущенных функций должны переходить в преобразования невозмущенных функций. Ясно, однако, что приводимая группа преобразований не может переходить в неприводимую при г —>• 0, матрицы или °) да-
ют при г = О матрицы того же типа. Точно так же при граничном переходе не меняются степени представления; в лучшем случае различные уровни энергии могут стремиться к совпадению, вследствие
54
Глава II
чего два или более пространства с числом измерений ni, п2 сливаются в пространство с числом измерений п\ + п2, в котором при этом имеет место приводимое представление.
