Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если удается установить и классифицировать различные возможные представления рассматриваемых групп, то этим одновременно дается классификация собственных значений и собственных функций атома и молекулы. На этом основывается групповая систематика термов.
§ 9. Эквивалентность и приводимость представлений
Часто бывает целесообразно связать с векторным пространством УК представление об аддитивной группе с операторами. При этом операторами являются элементы группы а; произведение av, а на вектор v, обозначает, что к вектору v применено линейное преобразование А, соответствующее а. Этот способ записи напрашивается сам собой при квантово-механических задачах. Результат применения вращения D или перестановки Р к собственной функции ф естественно обозначать через Бф или Рф. При этом способе записи мы избегаем введения соответствующей матрицы А, что очень удобно, так как при одновременном рассмотрении различных пространств представлений, подпространств и т. д. пришлось бы вводить новые буквы А, А! и т. д. для их преобразований. Наконец, мы имеем то преимущество, что все понятия и законы теории групп можно непосредственно применять к пространству представлений, так как оно рассматривается как аддитивная группа с операторами. Так, например, представление операторного изоморфизма, примененное к двум пространствам представлений одной и
той же группы Q, сразу дает нам понятие об эквивалентности двух представлений.
Два представления Q в и называются эквивалентными, когда в и базисные векторы можно выбрать таким образом, что каждый элемент группы в обоих пространствах представляется одной и той же матрицей. Это обозначает, что представление посредством
50
Глава II
матрицы А эквивалентно представлению Р~хАР, где Р какая-нибудь постоянная матрица.
Понятие допустимой подгруппы (т. е. инвариантной относительно оператора в) приводит к понятию инвариантного подпространства, т. е. такого линейного подпространства, которое при преобразованиях рассматриваемого представления переходит в само себя. Если существует такое инвариантное подпространство Г, не состоящее из нулевых векторов и не являющееся всем пространством то представление и соответствующее ему векторное пространство называется приводимым (по отношению к группе д)1.
Какой вид имеют матрицы приводимого представления? Мы выберем систему базисных векторов инвариантного подпространства ... , иь и дополним ее до базиса (щ, ... , ип) полного пространства У\. Мы имеем при этом
где Р, Q и S также являются матрицами и 0 обозначает нулевую матрицу. Матрица Р относится к представлению Q в подпространстве Г.
Что означают матрицы S?
Дополнительное пространство $H/t также допускает операторы а из Q. Если перейти в уравнении (9.1) от векторов и к соответствующим им сопряженным системам й (см. вторую часть закона гомоморфизма), то йи ... , Hh обращаются в нуль, так как все щ, ... , Uh принадлежат к подпространству Г, т. е. к нулевой сопряженной системе, тогда как г^+i, • • • , йп образуют линейно-независимый базис дополнительного пространства $H/t. Таким образом, имеем
хДля понятия приводимости не обязательно, чтобы операторы (а или в) образовали группу; может быть задана произвольная система операторов, линейные пре-
(ц = 1, ... , К),
1
h п
п
(9.1)
(IUjj = Е u\q\v + ^2 UxSx"
[у — h + 1, . . . , п).
1
/i+l
Поэтому матрица А имеет вид
п
(v = h + 1, ... , п).
h+1
образования которой переводят пространство в само себя.
§ 9. Эквивалентность и приводимость представлений
51
Следовательно, матрицы S образуют представление, которое связано с дополнительным пространством У\/х.
В выборе дополнительных базисных векторов Uh+i, ... , ип имеется, понятно, некоторый произвол.
Если специальным выбором этих базисных векторов можно достичь того, чтобы все матричные элементы q равнялись нулю, то (v,h+1, • • • , ип) также определяют инвариантное подпространство В. Тогда говорят, что пространство УК распадается на инвариантные подпространства Г и В
У1 = Х + В. (9.2)
Точно так же о связанном с УК представлении Э говорят, что оно распадается на связанные с t и В представления и Э2 и пишут
2) = Si +Э2.
В этом случае матрица S относится к представлению пространства В. Отсюда сразу получаем закон изоморфизма. Из (9.2) следует, что В = УК/Х (и также, что t = УК/В)1.
В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с представлениями групп при помощи унитарных преобразований. При этом для каждого инвариантного подпространства существует полностью перпендикулярное к нему подпространство В\ таким образом, в этом случае из приводимости вытекает распад.
Если а и Ь — подгруппы аддитивной абелевой группы, то символом (а, Ь) обозначают объединенную группу, которая состоит из всех сумм а + 6 (а из а, 6 из Ь). Если каждый элемент В = (а, Ь) может быть однозначно представлен суммой а + Ъ, то В называют прямой суммой а и Ь и пишут В = а + Ь, как в уравнении (9.2). Критерием прямоты суммы является то, что общим элементом подгруппы а и Ь является лишь нуль2.