Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4• Электрон в поле с центральной симметрией
25
полагаем
Ui = (п - l)(n + I + l)Ui (I = п - 2, п - 4, ...) (4.9)
и определяем Un из (4.7).
Докажем еще, что это Un удовлетворяет уравнению потенциала. Применив к обеим частям (4.7) оператор А, получаем после простых вычислений
AF = Д?/„ + X (n-l)(n + l + l)r2k~2Ui =
l=n-2k (4.10)
= AUn + U*_2 + r2U*_4 + ¦¦¦ .
Сравнение (4.8) и (4.10) дает AUn = 0, что и требовалось доказать.
¦
По § 2 из замкнутости шаровых функций следует, что произведения (3.4) представляют все собственные функции (4.1).
Собственные значения Е уравнения (4.5) для каждого значения азимутального квантового числа I нумеруются по возрастающим значениям с помощью главного квантового числа п = I + 1, I + 2, I + 3,... . Каждый уровень энергии Е(1,п) вырожден (21 + 1)-кратно, так как
для Yi в (4.3) возможны все Ус —I ^ т ^ I. Число т называется магнитным квантовым числом.
Для дальнейшего изучения задачи собственных значений укажем на известную литературу1.
В кулоновском поле притяжения (водород, Не+) с потенциалом
V = термы с одинаковыми п и с I = 0,1,... ,n - 1 совпадают и мы имеем
?(,,/) = ?„ = -f, B=?g-.
Это дает, в соответствии с опытом, для термов в «волновых числах» (обратных длинах волн)
4
-1
л- „ - 0 ^ R=—= 109722 см .
Л с 2тг he п2’ 4тг Нгс
Переходы
Еп Е2 ^ Еп —Ез, Еп —Ei
дают серии Бальмера, Пашена и Лаймана водородного спектра (см. рис. 1).
ХЕ. Schroedinger, Abhandlungen zur Wellenmechanik. Leipzig, 1927.
Курант и Гильберт. Методы математической физики. Глава V, §12, ГТТИ. 1933 г.
26
Глава I
Для некулоновского поля термы с различными /, вообще говоря, различны.
По § 3 вероятности перехода получаются путем разложения Хфп1 = —ехфп1, Yij)ni и Zijini по собственным функциям фпч>. Чтобы получить разложение величины
хфп1 = xfni(r)Yi{&, <р) (4.11)
по Фп'и, надо сначала разложить xYi на сфере по шаровым функциям. Применим к полиному / = xUi вышеприведенное разложение (4.7). Мы легко находим, что
Д/ = A(xUt) = ^U, = UU-
д
Так как — Ui является потенциальной фор-ох
мой, то в разложение (4.8) входит только начальный член. Отсюда следует:
xUi = Ui+i + r2Ui-i.
Положим опять Ui = rlY\, тогда
жУ/ = гУ/+1+гУ/_1. (4.12)
В разложение хфп1 (4.11) по собственным функциям входят только такие члены <рпц! = /„'^(г)^!, для которых V = /=Ь1. То же самое имеет место для уфп1 и z^ni. Отсюда следует правило отбора для азимутального квантового числа
I —У I dz 1.
Для водорода это правило не может быть проверено на опыте, так как термы с различными I совпадают. Как показывает опыт, щелочные металлы Li, Na, К, Cs обладают «водородоподобными» спектрами. Наблюдаемые у них термы можно расположить в серии s, р, d, /, и иногда еще g. Термы каждой серии нумеруются с помощью главного квантового числа п. Поэтому
для термов s-серии пишем 1 s, 2s, 3s, ... для термов р-серии пишем 2р, 3р, ... и т. д.
50000
100000
см"1
н
в
г. Пашен
Бальмер
Лайман
Рис. 1. Спектр атома водорода.
§ 4- Электрон в поле с центральной симметрией
27
Для термов ns, пр, nd, п/, ng имеет место формула
(п —
(4.13)
где ^ — поправка, мало зависящая от п и лежащая между У2 и 0, и для высших серий (d, / ит. д.) очень близкая к нулю. Спектральные линии возникают при переходе от термов какой-либо серии к термам соседней серии. А именно, s-термы комбинируют только с р-термами, р-термы с s- и d-термами и т. д. (см. рис. 2).
Для совпадения с вышеприведенными правилами отбора надо приписать сериям s, р, d, / значения I = 0,1, 2,3,...
Водородоподобный характер спектра становится понятным, если принять,что, например, атом Li состоит из обладающего шаровой симметрией
«остатка» Li+ (ядро и два электрона), находящегося, как правило, в основном состоянии, и внешнего электрона, совершающего квантовые переходы. Поле остатка приближенно равно полю ядра, экранированного двумя электронами1. Экранирование полно для внешних точек и неполно вблизи ядра. Поэтому экранированное поле не является чисто ку-лоновским полем. Его можно приближенно рассматривать на больших расстояниях, как кулоновское поле, как в атоме водорода, но на малых расстояниях к нему прибавляется, в качестве «возмущения», дополнительное притяжение, уменьшающее потенциальную энергию, а, следовательно, и собственные значения. Из «теории возмущений» (см. § 5) следует, что, когда собственные функции невозмущенной задачи малы вблизи ядра, влияние возмущения мало и, напротив, оно велико, когда собственные функции вблизи ядра велики. При больших значениях I собственные функции водородной задачи малы при малых г и их раз-
