Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Группы
47
различаются только обозначениями элементов, структура же их совершенно одинакова. Тогда пишут
0 = 9-
В случае аддитивных групп с операторами для гомо- и изоморфизма требуется, помимо соответствия суммы а + Ъ сумме а + Б, еще соответствие между ва и 6а (поэтому обе группы должны обладать общей областью операторов). В этом случае говорят об операторном гомо-или изоморфизме. Например, два векторных пространства операторноизоморфны, когда они обладают одинаковым числом измерений, так как тогда каждому базисному вектору одного пространства соответствует базисный вектор другого и каждой линейной комбинации первых — такая же линейная комбинация вторых. Каждое линейное преобразование векторного пространства является операторным гомоморфизмом, поскольку операторами служат обыкновенные числа.
Если группа 0 гомоморфно, но не изоморфно отображается группой 0, то элементы 0, соответствующие единичному элементу 0, образуют, как легко видеть, нормальный делитель I) в 0 и элементы 0, отвечающие произвольному фиксированному элементу в 0, всегда образуют сопряженную систему этого нормального делителя. Таким образом, каждой сопряженной системе \) соответствует однозначно элемент в 0, причем это соотношение является изоморфизмом. Таким образом, мы получаем следующий закон гомоморфизма.
Если 0 гомоморфно отображается в 0, то 0 изоморфно с дополнительной группой 0/1), где f) состоит из элементов 0, соответствующих единичным элементам в 0. Обратно, 0 также гомоморфно отображается в каждой дополнительной группе 0/f), если каждому элементу соответствует та сопряженная система, к которой он принадлежит. (В вышеприведенном примере, где группа 0 состояла из чисел +1, —1, f) является знакопеременной группой.)
Закон гомоморфизма остается в силе и для групп с операторами; при этом вместо гомо- и изоморфизма нужно соответственно говорить об операторном гомо- или изоморфизме.
Особенно важным является тот частный случай понятия о гомоморфизме, когда отображающая группа 0 состоит из линейных преобразований векторного пространства SH. При этом каждому элементу группы 0 соответствует несингулярное линейное преобразование А пространства такого рода, что произведению а-Ъ всегда соответствует произведение АВ. В этом случае говорят о представлении группы 0 линейными преобразованиями (или матрицами). Число измерений п пространства представлений называется степенью представления. Если сопоставление является взаимнооднозначным, т. е. изоморфным, то пред-
48
Глава II
ставление называют точным. Если представление не точно, то оно, по закону гомоморфизма, является точным представлением дополнительной группы ?)/().
Для более подробного изучения основ теории групп можно воспользоваться книгами A. Speiser, Theorie der Grupen von endlicher Ordnung или B.L. van der Waerden, Modern Algebra I.1
Применение представлений групп в квантовой механике основывается на следующем.
Уравнение Шредингера для системы частиц при определенных преобразованиях переменных, входящих в волновую функцию, переходит в самого себя, например:
а) при перестановках координат различных электронов (или иногда ядер), играющих одинаковую роль в уравнении;
б) при трансляциях, вращениях и отражениях пространства, не меняющих имеющегося силового поля. Если ядро в атоме рассматривается как неподвижный центр сил, то речь идет о вращений вокруг этой точки и об отражении (симметрии) относительно нее. Для атома в однородном магнитном или электрическом поле группа вращений заменяется подгруппой вращений вокруг неподвижной оси. Если в двухатомной молекуле (в первом приближении) оба ядра считаются неподвижными центрами сил, то рассматривается вращение вокруг линии, соединяющей ядра, и отражение от проходящих через нее плоскостей. Для двух ядер с одинаковыми зарядами к этому еще добавляется отражение от средней плоскости, перпендикулярной к линии, соединяющей ядра, и т. д.
Рассмотренные преобразования шредингеровской задачи собственных значений в каждом случае образуют группу, а именно в случае а) симметричную перестановочную группу &f, когда в системе имеется / электронов, и в случае б) группу вращений и отражений. Преобразования, соответствующие этим группам, дают вместе с тем преобразования волновых функций т/>, если предположить, что пространственное преобразование Т (вращение или отражение), переводящее систему точек дх, д25 • • • 5 qf в ... , q'f, преобразует волновую функцию г/; в т/У, где
или, что то же самое,
1 Русский перевод, Б. JI. Ван-дер-Варден. Современная алгебра. Т. I. ОНТИ, 1935.
§ 9. Эквивалентность и приводимость представлений
49
Таким образом, функция ф должна преобразовываться линейно, а это значит, что если S и Т два преобразования, то
(вТ)ф = S{Tif>).
Так как при этих преобразованиях дифференциальное уравнение Шредингера не меняется, то его собственные функции должны переходить в собственные функции, соответствующие тому же собственному значению. Следовательно, собственные функции каждого уровня энергии преобразуются линейно и эти преобразования образуют представления рассматриваемой группы.