Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует: если в пределе при г = О имеется неприводимое представление n-ой степени, то и для малого г имеет место неприводимое представление той же степени.
И, так как параметр е может быть постепенно увеличен до сколь угодно большого значения, сказанное остается в силе и при большой величине энергии возмущения. Если в отсутствии возмущения имеется неприводимое представление группы Q степени п и если возмущение инвариантно относительно этой группы, то возмущение, как бы велико оно ни было, не может вызвать расщепления термов и при любой его величине имеет место неприводимое представление порядка п.
Аналогично получается следующий вывод: если при е = О имеется целиком приводимое представление степени п, которое распадается на
неприводимые представления Xi + X2H-----bEr, то п-кратный терм при
возмущении может расщепиться максимум на г термов, собственные функции которых в пределе при г —» 0 преобразуются по неприводимым представлениям Еь Х2, ... , Ег.
Мы установим позже для всех рассматриваемых групп все вообще возможные неприводимые представления. Их можно во всех встречающихся случаях отличать друг от друга номерами (квантовыми числами). При непрерывном изменении величины г такие номера не могут внезапно (скачкообразно) меняться; поэтому при возрастании г представление должно оставаться неизменным с точностью до эквивалентности. В вышеприведенном случае оно остается всегда одним из представлений Ei, ... , Ег (или суммой некоторых из них).
§ 10. Представления абелевых групп. Примеры
При унитарном представлении абелевой группы все матрицы представления коммутируют между собой и поэтому могут (согласно концу § 7) одновременно преобразовываться к главным осям. Если vi, ... , vn — главные оси или собственные векторы, то одномерные подпространства (vi), ... , (vn) инвариантны относительно всех преобразований группы. Следовательно, представления распадаются исключительно на представления первой степени, которые, само собою разумеется, неприводимы.
Пример 1. Представляемая группа называется циклической группой порядка щ если она состоит из степеней 1, а, а2, ... , ап-1 элемента а, причем ап = 1. В представлении первого порядка элемент а представлен матрицей (а). Тогда а2 должно быть представлено (а2) и т. д. и,
§ 10. Представления абелевых групп. Примеры
55
наконец, ап = 1 представлено (ап). Следовательно, ап = 1, откуда а есть n-ый корень из единицы. Существует п различных n-ых корней из единицы
27г im
а = е п (ш = 0, 1, ... , п — 1),
поэтому циклическая группа степени п имеет ровно п различных представлений первой степени. Любое представление распадается на представление первой степени, причем, естественно, данное представление первой степени может встречаться несколько раз.
Например, группа перестановок двух предметов (электронов) является циклической группой второй степени. Если а обозначает перестановку обоих предметов, то представление имеет вид
а —У (+1)? а —У (—1).
Оператор а не меняет векторов v+, относящихся к представлению (+1), вектора же v_, относящиеся к (—1), меняют знак
(IV + = V+, (IV- = —V-.
Вектор v+ называется «симметричным», V- — «антисимметричным». Так, например, спектр атома гелия распадается на две совершенно раздельных системы термов, из которых одна относится к симметричным собственным функциям (синглетная система), а вторая к антисимметричным (триплетная система).
То же самое имеет место для группы, состоящей из отражения (инверсии) в начале координат (в трехмерном пространстве)
х' = —ж; у' = —у; z! — —z
и тождественного преобразования. Здесь также имеется два типа базисных векторов v+, V-. Вектор v+ принадлежит к «характеру отражения + 1», вектор V- к «характеру отражения —1». Это различие обусловливает распад системы термов любого атома на две подсистемы, отличающиеся значением характера отражений w = ±1.
Пример 2. (Группа вращений вокруг неизменной оси). Каждое вращение определяется углом вращения (р. Если вращение D^ представлено матрицей первого порядка х(<^), то, чтобы произведению вращений соответствовало произведение матриц, должно иметь место
x(vi + ?>2) = х(Ы -хОЫ-
Непрерывными решениями этого функционального уравнения являются функции
Х{Ф) = ectp-
56
Глава II
Так как х(27г) = х(0) (по крайней мере для однозначных представлений), то
е2пс = 1,
следовательно, гс — т с цельночисленным т. Поэтому представление имеет вид
х(<р) = e~im(p.
Отсюда следует, что существует бесконечное количество представлений первой степени, относящихся к значениям
т = О, =Ь1, =Ь2, ...
Из них образуется всякое однозначное непрерывное представление.
Этот способ рассмотрения применяется главным образом в молекулярных спектрах.
