Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(6.2)
(6.3)
34 Глава I
Вычислим теперь оператор ?2. В случае одного электрона 02 ( д 9\2 / 9 9\2 / 9 д\2
~~ +(x^-yoi) =
V <9z2 5у2 dydz ду dz)
2 д /" д д д\2 ( д д д\
Переходя к полярным координатам, с помощью (4.2) и выражения
9 9 9 9
ж я- + У^~ + получаем
ох оу oz or
-?2 = Л. (6.4)
Отсюда следует по (4.4) и (4.6)
?2у, = in + т
и аналогично, так как оператор Л действует только на $ и <?>, но не на г,
?2/(г)г, = /(г + 1)Дг)уь
т. е. в состоянии f(r)Yi оператор 2? имеет определенное значение 1(1 + 1).
Следовательно, момент импульса h? является вектором, квадрат которого в состоянии f(r)Y^m^ (ш = /,/ — 1,... , —/) имеет значение h2l(l + 1), а составляющая по оси z — значение Тот. Для ясности
можно представить себе вектор длины Ы, направление которого выбрано так, что его составляющая по оси Z принимает все возможные значения Ы, Н(1 — 1),... , —Ы.
Если составляющая по оси z имеет определенное значение, то составляющие по другим направлениям не могут иметь определенных значений: операторы Lx и Lz не коммутируют между собой и поэтому не обладают общей системой собственных функций. Шаровые функции Y^m\ которые мы произвольно приняли за базис для всех шаровых функций, являются поэтому собственными функциями Lz в линейной совокупности всех шаровых функций.
§ 6. Момент импульса и бесконечно малые вращения
35
1. Эффект Зеемана
Линейный возмущающий магнитный член в уравнении Шредингера для одного электрона имеет вид
w = -Hc(%-p),
где /х — масса, е — заряд электрона, 21 — вектор-потенциал (rot 21 = S))
h д
ир — вектор с компонентами рх = и т. д.; в случае по-
1 (JX
стоянного магнитного поля, имеющего напряжение f) в направлении г (21ж = 7jy$Jz; 21 у = — 21* = О), это выражение сводится
к следующему:
W = x?)zLz, где к = = магнетон Бора.
Если Н$ — невозмущенный оператор энергии (обладающий центральной симметрией), то, согласно вышеизложенному, собственные функции оператора Hq для определенного собственного значения Eq можно подобрать так, чтобы они одновременно принадлежали к определенному собственному значению т оператора Lz. Тогда они являются одновременно собственными функциями суммы Н = Hq + W = = Hq + xS)zLz для собственного значения
Е = Eq + xS^zjri. (6.5)
Поэтому расщепление термов при эффекте Зеемана равно x?)zm.
Дословно то же самое можно сказать и о системе со многими элек-
тронами. Собственные функции каждого уровня энергии можно при этом подобрать так, чтобы они одновременно являлись собственными функциями оператора Lz. Собственные значения т оператора Lz называются «магнитным квантовым числом», потому что, согласно предыдущему, атом ведет себя как магнит, магнитный момент которого в направлении Z, равен т магнетонов Бора. Частота v расщепленной спектральной линии определяется соотношением
hv — Е — Е' = (Eq — Е'0) + K$)z(m — т'). (6.6)
2. Правило отбора для т
Вероятности переходов, которым пропорциональны интенсивности линий, излучаемых при эффекте Зеемана, можно по § 3 получить,
36
Глава I
разлагая произведения Хфп, Уфп, Z^n по собственным функциям фп<. Выберем фп и фп> снова так, чтобы при вращении Da вокруг оси z на угол а они умножались на е~гта или е~гт а, и положим
(X + %У)фп п “Ь п)Фп' 5
(X ъУ)фп ~ 5>П'П iYn'^фп',
%фп ^ У ^ ^п'пфп' •
В левой части этих рядов при вращении Da, появляются множители e-*(m+1)a?e-*(m-1)«?e-*mat Вращение в правой части можно произвести двояко: или применив вращение Da ко всем членам, что даст для членов с фп> множитель е~гт а. или весь ряд умножить на или соответственно на е“*(т_1)а, или на е~гта. Обе операции должны дать одинаковые результаты. Отсюда следует, что в первом ряду в действительности могут встречаться только члены с т! — т + 1, во втором только сш' = ш — 1 и в третьем с т' = т. Таким образом, имеем правило отбора
ш' = т + 1, ш, т — 1 (6.7)
с добавлением, что при т! — т излучается только свет, поляризованный параллельно оси z, тогда как при т' = т =Ь 1 наблюдателю в плоскости свет представляется линейно поляризованным в этой плоскости, а наблюдателю в направлении оси z — поляризованным по кругу1.
