Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в первом приближении двухатомную молекулу как систему из двух неподвижных ядер, вокруг которых вращаются электроны. При вращении вокруг линии, соединяющей ядра, собственные функции каждого уровня энергии переходят в самих себя. Мы получаем, таким образом, для каждого уровня энергии представление группы вращений вокруг этой оси, которое мы можем считать приведенным. Собственные функции, а следовательно, и соответственные термы можно различать по относящимся к ним различным представлениям первой степени с т = 0, ±1, ±2, ... , к которым они принадлежат. Для абсолютного значения \т\ применяют символ Л. Термы с Л = 0 (ш = 0) обозначают как X-термы, с Л = 1 (ш = ±1) как П-термы, с Л = 2, (ш = ±2) как А-термы и т. д. Почему термы с противоположными значениями т (например, с т = +1 и т = —1) не отличаются в обозначении друг от друга, мы увидим ниже.
Пример 3. (Группа вращений и отражений). Оператор энергии только что рассмотренной двухатомной молекулы с двумя неподвижными центрами допускает не только вращение вокруг неподвижной оси молекул а, но и отражения относительно плоскостей, проведенных через эту ось. Эти вращения и отражения образуют неабелеву группу 0, группу вращений и отражений. Примем во внимание отражение от какой-нибудь определенной плоскости и обозначим его через sy. Тогда из sy и произвольных вращений можно получить все остальные отражения.
При этом имеют место соотношения:
Dср • D<ij) — Dp+ф
D(pSy — SyD—(p.
§ 10. Представления абелевых групп. Примеры
57
В каждом пространстве представлений группы 0 можно сначала выполнить приведение подгруппы вращений. Это дает уже известные нам векторы vm (где т целое число), которые при вращении D^ умножаются на е~гтср.
Положим теперь т = Л > 0. При отражении sy v\ переходит в вектор так как
Dip(syv\) = SyDtpVA = sye~iA(pv\ = etA,p(syv Л).
v\ и v-а образуют двухмерное подпространство Гд = (^л, ^-л)5 инвариантное относительно группы 0 и не содержащее меньших инвариантных подпространств. В самом деле, если бы в пространстве Гд существовало одномерное инвариантное подпространство Г7, то оно вместе с тем было бы неприводимым пространством представлений подгруппы вращений. Тогда его базисный вектор должен был бы при вращении на ср умножаться на егт(р, где ш может быть только ±Л, так как только эти два представления группы вращений входят, как слагающие, в пространство представлений Гд. Но при отражении этот базисный вектор переходит в другой, относящийся к характеру вращения —Л, поэтому подпространство х' должно быть по меньшей мере двухмерным и пространство представлений (г?л, ^-л) неприводимо. Отсюда следует, что в молекуле с двумя неподвижными ядрами к каждому собственному значению относятся только две собственные функции Ф-А-
Представляющие матрицы для вращения D^ и отражения sy имеют
вид
/ e-iA<p о \ / о 1 \
\ 0 ) и \ 1 о ) •
Это представление обозначается символом 21д-
В случае Л = 0, когда векторы vq инвариантны при всех вращениях, V—A и v\ не отличаются друг от друга. Если пространство векторов vq рассматривается, как пространство преобразований цикличес-
кой группы, состоящей из тождества и отражений, и если эти представления циклической группы приводимы, то существует два типа представлений первой степени, определяющихся «характером отражения» +1 и —1 и обозначающихся через 21^ и 210 • Базисные векторы неприводимого пространства представлений 21^ при каждом отражении умножаются на ±1 и остаются инвариантными при всех вращениях. Следовательно, неприводимыми представлениями группы инверсии 0 являются 21^, 210 , 21ь 212, 213, ...
Как показывает предыдущий пример, для неабелевой группы Q могут тоже существовать неприводимые представления первого порядка, но они обязательно являются неточными, так как представляющие
58
Глава II
матрицы коммутируют друг с другом, тогда как элементы группы не коммутируют между собой. Так как элементам группы аЪ и Ъа не соответствует одна и та же матрица, то «коммутатору»
аЬ^а)-1 = аЬа~1Ъ~1
соответствует единичная матрица. Все эти коммутаторы и их произведения образуют подгруппу в Q — «коммутант», элементы которой представляются единичными матрицами. Таким образом, представление является точным представлением (абелевой) дополнительной группы 0/f), где нормальный делитель f) по крайней мере охватывает коммутант.
Пример 4. Симметрическая группа ©n (п > 2) не является абелевой. Коммутаторами ее (между прочим) являются перестановки
(ij) (ijk)
которые все «трехцикличны». Как легко видеть, они и их произведения образуют «знакопеременную группу» 21п (§8). Поэтому каждое представление первой степени группы ©п является одновременно представлением группы ©„/21„. Так как эта дополнительная группа является циклической группой второго порядка, то она имеет только два представления первой степени: одно тождественное или симметричное представление, в котором всем перестановкам соответствует единичная матрица (1); другое — антисимметричное представление, в котором четным перестановкам соответствует матрица (1), а нечетным — матрица ( — 1). Все остальные представления группы ©п выше, чем первой степени.
