Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 Доказательство. Если векторы ei, ... , en не ортогональны, то мы сначала заменим для Л = 2, 3, ... , п каждое е\ на е'х = е\ + /Здех, где (3 выбрано так что (ei, е'х) = (ei, ед) + /3 • (ед, ед) = 0. Таким же образом заменим потом для Л = 3, ... , п каждое е'х на е'х = е'х + (Згхег2 так, что (е^, е'х) = 0 и т. д. ¦
40
Глава II
и матрица (g\ц в (7.3) сводится к единичной матрице для новых ортогональных базисных векторов.
ш-мерное линейное подпространство или частичное пространство (г?1, ... , vm) векторного пространства (ei, ... , еп) состоит из всех линейных комбинаций т линейно-независимых векторов v\, ... , vm. Даже когда v\ не являются линейно-независимыми, их линейные комбинации образуют подпространство (v\, ... , vm), но тогда число его измерений меньше, чем т.
Для каждого ш-мерного подпространства t = (v\, ... , vm) унитарного векторного пространства У\п существует полностью перпендикулярное к нему подпространство t', состоящее из всех векторов w, ортогональных к v\ — vm. Если дополнить v\ — vm ортогональными к ним базисными векторами vm+i —vn до базиса всего пространства, то легко видеть, что перпендикулярное подпространство t' слагается из всех линейных комбинаций vm+i — vn. Следовательно, t' (п — ш)-мерно; t и t'
образуют все пространство *Ита, т. е. каждый вектор в У\п является
суммой одного вектора из Г и одного вектора из t'.
Линейное преобразование А называется унитарным, если оно оставляет неизменными все скалярные произведения, т. е. если
X = X! ПРИ СА = X dA = X
Это имеет место при условии
AGA = G,
где А — транспонированная комплексно сопряженная с А матрица, a G = (gxn). В частности, когда G единичная матрица, предыдущее условие сводится к
АА = Е или Х“А/*яа>/ = <^а- (7.4)
Поэтому А является матрицей, обратной А
А'1 = А. (7.5)
Линейное преобразование А называется эрмитовски симметричным или самосопряженным (см. §1), если всегда (Av, w) = (v, Aw).
При отнесении матрицы А к нормированной ортогональной системе базисных векторов самосопряженность выражается соотношением
ахи =
(7.6)
§ 7. Линейные преобразования
41
Теорема. Если самосопряженное или унитарное1 преобразование А переводит линейное подпространство в само себя, то оно, кроме того, преобразует и перпендикулярное ему подпространство в само себя. Доказательство.
Для унитарных преобразований эта теорема очевидна. Для самосопряженных преобразований она вытекает из следующих соображений. Если v\, ... , vm базисные векторы первого подпространства и если w любой перпендикулярный к ним вектор, то мы имеем
(Aw, v\) = (w, Av\) = О,
поэтому Aw ортогонально ко всем v\. ш
Из этой теоремы вытекает, что как каждое самосопряженное, так и каждое унитарное преобразование обладает замкнутой (т. е. состоящей из п векторов) ортогональной системой собственных векторов v
Av = Xv.
Действительно, с помощью векового уравнения (см. §5)
= 0 (7.7)
ац — Л а\2 * * * ain
а>21 а22 — А • • • а2п
находим некоторый собственный вектор v\, компоненты которого ci,... ,сп дают решение системы уравнений
(ац — Л) ci + о\2С2 + • • • = О tt21cl (о>22 ~ ^)с2 + • • • = О
tonl + ап2^2 + • • • — 0.
Перпендикулярное к нему пространство ?Hn_i, согласно вышеприведенной теореме, преобразуется матрицей А в само себя. Следовательно, мы можем определить тем же способом в i единичный вектор v2 и т. д.
Если воспользоваться найденными v\, ... , vn как базисными векторами для У\п, то преобразование А будет представляться диагональной матрицей.
Ai 0 0 Л2
1 Следует подчеркнуть, что понятия унитарного и самосопряженного преобразования существенно различны, совпадая лишь в случае А — Е. (Прим. ред.).
42
Глава II
В этом случае говорят, что преобразование А отнесено к главным осям. Отсюда вытекает далее, что каждое собственное значение Л преобразования А встречается среди А*,, и все принадлежащие ему собственные векторы могут быть представлены линейными комбинациями векторов vv, для которых Хи = Л.
Теорема. Каждая система коммутирующих друг с другом унитарных или самосопряженных матриц может быть одновременно преобразована к главным осям.
Доказательство.
Если все матрицы системы являются кратными единичной матрице1, то доказательство тривиально. Пусть А — матрица системы, не кратная единичной матрице. Обозначим замкнутую ортогональную систему собственных векторов матрицы А через
vi, v2, ... ,vk\ wi, ... , wh] ... ;
а соответствующие им собственные значения через
Ai, Ai, ... , Ai; А2, ... , А2; ... (Ai / A2 и т. д.).
