Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть требуется определить усилия, действующие на стержень АВ. Закрепим сначала один из стержней системы, отличных от АВ и оканчивающихся в точке А, тогда система будет неподвижна в своей плоскости. Если отбросим после этого стержень АВ и заменим его силой Р, с которой он действует на точку В, то получим систему с полными связями, находящуюся в равновесии. Дадим системе бесконечно малое виртуальное перемещение, и пусть 6г — изменение длины АВ при этом перемещении. Работа силы Р (если считать Р положительной в случае растяжения) будет — РЬг, пусть, с другой стороны, виртуальная работа сил, прямо приложенных к узлам системы, обозначена через оГ. Условие равновесия сил имеет вид:
— РЬг -{- |Г = 0, откуда Р = ~ , и Р определяется этой формулой.
Глава X. Аналитическая статика 303
Следует заметить, что это доказательство с таким же успехом можно применить и к пространственным стержневым системам.
§ 5. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ
246. Общее уравнение статики. — Рассмотрим систему из п материальных точек
^1 С^1> ^l), ^2 (•^2*^2» Уп>
подчиненных связям, которые выражаются уравнениями, не содержащими времени. Связи предполагаются свободными от трения, так что принцип виртуальных перемещений оказывается применимым.
Пусть F{ есть равнодействующая сил, прямо приложенных к точке Ми и Х{, Yit Zi — ее проекции на оси координат. Пусть далее bst есть виртуальное перемещение точки Mj и 8Xi, Ьуи bzj — его проекции на те же оси. На основании принципа виртуальных перемещений необходимые и достаточные условия равновесия выражаются уравнением
2(^Ю = °> (О
i= г
которое обычно пишется в виде:
2 №,+ Yfiyt + ZM) = 0. (1')
( = 1
Это уравнение должно иметь место для всех виртуальных перемещений &х(, 8у{, 6г4-.
Уравнение (1) носит название общего уравнения статики. Но оно может применяться лишь к системам с обратимыми движениями и со связями без трения. Мы рассмотрим далее различные методы исключения вариаций и определения положений равновесия в случаях, когда силы известны и зависят только от положения точек системы.
304
Часть третья. Статика
247. Голономные системы.—Связь называется голо-номной, если она выражается уравнением в конечной форме между координатами точек системы. Система, все свчзи которой голономны, называется голономной системой.
Каждая голономная связь отнимает у системы одну из её степеней свободы и уменьшает, следовательно, число возможных положений. Однако существуют связи, не входящие п эту категорию. Они уменьшают не число возможных положений системы, а лишь число движений, которые переводят систему из одного данного положения в другое.
Так, можно связать две точки, движущиеся в плоскости, условием, чтобы их скорости имели одинаковую величину в каждый момент. Эта связь не является голономной, ибо она не ограничивает совокупности возможных положений: два положения первой точки и два положения второй всегда должны быть соединены путями одинаковой длины, пробегаемыми за одинаковое время двумя точками, имеющими равные скорости.
Мы уже встречались со связями, наложенными на твердое тело и не являющимися голономными. Эю — классический случай качения и верчения без скольжения поверхности тела по неподвижной поверхности. Эта связь разлагается на две, одна из которых голономна, другая нет. Условие касания двух поверхностей ограничивает число возможных положений тела и голономно; условие того, что скорость точки касания тела с неподвижной поверхностью равна нулю, ограничивает только совокупность движений, которые переводят тело из одного положения в другое, и это условие не является голономным.
Неголономные связи необходимо выражаются дифференциальными неинтегрируемыми соотношениями между координатами точек системы.
Первый обратил внимание на различие между этими двумя видами связи физик Г. Герц; он назвал связи первой категории голономными, системы же, связи которых не входят в эту категорию, носят с тех пор название него-лономных. Так как значение их для статики невелико, мы не будем здесь ими заниматься.
Глава X. Аналитическая статика
306
Рассмотрим голономную систему и точек. Предположим, что связи выражаются А уравнениями между координатами этих точек:
/10^1* У\) ^1* • • * Ую ?п)
Уа(''“l* Уи zv • • • xni Уп1 гп) =
/ft (•'"!> Уъ • • • ХП1 Уп> ^п)
(2)
число h уравнений должно быгь менее числа 3п координат, так как иначе 3п координат, а следовательно, и положение системы могли бы быть определены из этих уравнений, и движение было бы невозможно. Положим поэтому
h = Зл — k.
Если ?—1, то говорят, что система с полными связями, так как остается лишь одна независимая координата. О такой системе говорят также, что она имеет одну степень свободы. В общем случае имеется k координат, значения которых остаются произвольными; их можно рассматривать как независимые параметры, при помощи которых определяется положение системы. В этом случае говорят, что система имеет k степеней свободы.
