Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
При применении этой теоремы к весомой системе предполагается, что центр тяжести системы может подниматься или опускаться. Может, в частности, случиться, что центр тяжести системы остается на одном и том же уровне для различных возможных положений системы, так что последняя будет в равновесии во всех этих положениях. В этом случае говорят, что равновесие безразличное,, или астатическое. С таким равновесием мы встречаемся в случае тяжелого твердого тела, вынужденного скользить по горизонтальной плоскости, или опертого на неподвижную опору в своем центре тяжести, или также в случае весов с двумя чашками, центр тяжести которых совпадает с точкой подвеса коромысла.
Мы возвратимся к этой теореме в динамике системы.
§ & ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ
ДЛЯ СИСТЕМ С НЕОБРАТИМЫМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ
252. Односторонние связи.—Связи, рассматриваемые до сих пор, выражались уравнениями, и перемещения системы, совместимые со связями, были обратимыми. Связи, выражающиеся неравенствами, называются односторонними. В противоположность им связи, выражающиеся равенствами, называются двусторонними.
Легко можно привести, и мы это уже делали, очень простые примеры односторонних связей. Если движущаяся
Глава X. Аналитическая статика
313
точка находится на одной стороне непроницаемой поверхности, через которую она не может перейти, но с которой может сойти без всякого сопротивления, то связь выражается неравенством. Действительно, если точка движется по поверхности, то ее координаты удовлетворяют уравнению последней
f(x,y, z) = 0.
Функция f принимает положительные значения с одной стороны от поверхности и отрицательные значения с другой стороны; поэтому, если точка движется по поверхности со стороны положительной области и может сойти с поверхности только в эту область, то связь выражается неравенством (соединенным с равенством)
/(*. У,*)>0.
Если две точки М и М' связаны между собой гибкой и нерастяжимой нитью длины /, то расстояние между ними может сделаться меньше /, но не может быть больше этой длины. Эта связь тоже выражается неравенством (соединенным с равенством)
(* - *')2 + (у -У)2 -И* - < Р-
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть на голоном-ную систему наложено некоторое число односторонних связей и, кроме того, другие связи, которые могут быть двусторонними. Необходимо различать два рода положений системы: обыкновенные положения, при которых односторонние связи удовлетворяются только в смысле неравенств, и граничные положения, при которых по крайней мере одна из этих связей удовлетворяется и в смысле равенства.
При обыкновенных положениях системы односторонние связи ничем не ограничивают виртуальных перемещений системы, они в этом случае уже не являются связями, и их можно не учитывать при применении принципа виртуальных перемещений, Д1ы имеем здесь в точности случай, изученный выше,
314
Часть третья. Статика
Предположим теперь, что система находится в граничном положении. Мы можем исключить на том же основании все односторонние связи, которые при данном положении системы имеют место только в смысле неравенств, и рассматривать лишь связи, которые удовлетворяются и в смысле равенств. Эти связи допускают среди прочих и необратимые перемещения. Однако когда мы рассматриваем какое-нибудь необратимое перемещение, необходимо делать различие между оставшимися односторонними связями. Одни из них при этом перемещении удовлетворяются в смысле равенств, для других дело обстоит иначе. Первые ведут себя при этом как двусторонние связи. Вторые, наоборот, перестают действовать при этом перемещении и не играют в нем никакой роли: эффект их действия может проявиться лишь в том, чтобы не допустить противоположного перемещения. Поэтому при данном необратимом перемещении эти связи можно вовсе не рассматривать. Принцип виртуальных перемещений можег быть распространен на случай необратимых перемещений, но при этом он несколько видоизменяется. Это Изменение относится прежде' всего к основной лемме, служащей основанием принципа (п° 232). Она должна быть дополнена следующим образом:
253. Леима. — Пусть некоторая материальная система находится под действием данных сил и занимает данное положение (положение равновесия или нет). Для всякого обратимого или необратимого виртуального перемещения, сумма работ реакций связей, действующих в этом положении системы, равна нулю или положительна. Сумма работ реакций связей всегда равна нулю при действительном перемещении.
Для обратимых перемещений эта формулировка леммы совпадает, с прежней, поэтому достаточно рассмотреть необратимые перемещения.
Если сначала рассмотрим виртуальные перемещения, то принцип верен: 1° для точки, движущейся по поверхности и могущей сойти с нее в одну сторону, ибо работа
Глава X. Аналитическая статика
315
реакции поверхности, предполагаемой жесткой, положительна, если точка виртуально удаляется от поверхности; 2° для двух точек, которые удерживаются натянутой нитью, но могут приближаться друг к другу, так как сумма работ реакций, поскольку они существуют в натянутой нити, положительна при виртуальном приближении точек друг к другу; 3° для двух твердых поверхностей, которые опираются одна на другую, так как если их виртуально удалять друг от друга, сумма работ реакций, действующих в точке прикосновения, положительна.
