Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. — Элементарная работа пары G, приложенной к твердому телу, которому сообщено какое-нибудь элементарное перемещение, равна скалярному произведению осевого момента пары на элементарное вращение тела, т. е.
(Сш)8*.
Для доказательства теоремы возьмем начало координат на линии действия одной из сил пары; пусть Я — другая сила, имеющая проекции X, Y, Z и приложенная в точке (х, у, г). Проекции Gx, Gy, Gz момента G пары на оси приводятся к моментам силы Р относительно этих осей, т. е. к
Gx=yZ — zY, GtJ = zX—xZ, Gz = xY—yX.
Выберем начало координат за центр приведения движений твердого тела. Мгновенное движение тела приводится к поступательному движению со скоростью и и к вращению с угловой скоростью и» вокруг начала. При поступательном перемещении тела сумма работ сил пары равна нулю, поэтому работа пары приводится к работе, произведенной при элементарном вращении ыЫ, т. е к работе силы Р при этом вращении. Эта элементарная работа выражается в виде
(Xvm Yvy-j- Zv^) (it,
Глава X. Аналитическая статика
где vx, vy, vz суть проекции скорости точки (х, у, г) приложения силы Р при вращении ю. Обозначив черев р, <7, г проекции вектора ю на оси, можем написать:
vx=*qz-~ ry, vy = rx pz, v, — ГУ— 4х'.
подставляя эти значения в выражение для элементарной работы, получим:
[р (yZ — z Y) -f q (гХ— xZ) -f- r (x Y—yX)\ b1,
(P + rGt) bt = (Gw) bt,
что и доказывает теорему.
237. Сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу. — Возьмем произвольную точку О твердого тела за центр приведения данных сил и движений тела. Силы приводятся к результирующей силе R, приложенной в точке О, и к паре с моментом О. Движение тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью и точки О и к мгновенному вращению ю. Элементарное перемещение точки О есть ubt, элементарное вращение равно шЫ.
Отсюда имеем следующую теорему:
Сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарной работы результирующей R, приложенной к точке О:
(Ru) bt,
и элементарной работы результирующей пары G:
(Ом) bt.
Сумма этих работ есть
[(/?«) -f- (Gw)] bt.
В частности, если результирующий момент сил, приложенных к твердому телу, относительно точки О равен
19*
292
Часть третья. Статика
нулю, то сумма элементарных работ этих сил приводится к работе результирующей силы, приложенной в точке О, которая предполагается при этом связамной с твердым телом.
238. Применение принципа виртуальных перемещений к равновесию свободного твердого тела.— Так как основная лемма выполняется в случае свободного твердого тела, то принцип виртуальных перемещений может быть применен к выводу условий равновесия тела. Необходимое и достаточное условие равновесия заключается в том, что сумма элементарных работ сил, прямо приложенных к телу, должна быть равна нулю на всяком виртуальном перемещении, т. е. в данном случае, на самом общем перемещении свободного твердого тела.
На основании полученного выше выражения работы, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы при любой скорости поступательного движения и и любом вращении о) имело место условие
(«/?) + (wG) = 0. (1)
Т<ж как и и о) произвольны, то можно положить u = R и о) = О, что приводит уравнение (1) к виду R2 -(- G2 = 0, откуда R=G — 0. Мы вновь получаем, таким образом, известное условие равновесия. Для равновесия свободного твердого тела необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к телу, составляли систему векторов, эквивалентную нулю.
Заметим, что так ка.с R и G представляют собою результирующую силу и результирующий момент для центра приведения О, то условие R = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы сумма элементарных работ сил была равна нулю для всякого виртуального поступательного перемещения твердого тела, а условие 0 = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы сумма элементарных работ была равна нулю для всякого виртуального вращения тела вокруг точки О. Именно из этих соображений и
Г лава X. Аналитическая статика
293
говорят, что /? = 0 есть условие равновесия для поступательного движения, а 0 = 0 есть условие равновесия d.w вращательного движения тела.
§ 3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РАВНОВЕСИЮ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
239. Твердое тело, имеющее неподвижную точку.— Когда твердое тело имеет неподвижную точку, то силы связи представляют собою реакции тех внешних тел, которые обеспечивают неподвижность этой точки. Условие отсутствия трения заключается в том, что реакции эти приводятся к одной результирующей, проходящей через неподвижную точку, без пары. Влияние трения равносильно действию пары, стесняющей свободное вращение вокруг неподвижной точки. В том случае, когда пары нет, сумма виртуальных работ реакций приводится, как мы видим (п° 237), к работе их результирующей, приложенной к неподвижной точке; эта работа равна нулю, так как точка приложения силы неподвижна. Таким образом, в согласии с леммой (п° 232) работа сил связи равна нулю для всех перемещений, совместимых со связями, и потому принцип виртуальных перемещений применим к данному случаю.
