Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Вариации координат, совместимые со связями, должны удовлетворять следующим уравнениям, которые получаются полным дифференцированием уравнений (2) в 8:
дхг
¦О,
(3)
Эти h (или Ъп— k) уравнений между Ъп вариациями координат показывают, что k из этих вариаций остаются произвольными: мы будем называть их независимыми вариациями', тогда остальные, которые выражаются через них из предыдущих уравнений, будут зависимыми.
20 За®. 058.
Часть третья. СтатиКй
Зависимые вариации выражаются линейными функциями от k независимых вариаций в результате решения системы (3). Подставим их значения в уравнение (1), представляющее собой общее уравнение статики. Так как это уравнение после указанной подстановки будет содержать лишь k независимых вариаций, то оно должно удовлетворяться при произвольных значениях последних; каждый из k коэффициентов при этих вариациях должен поэтому в отдельности обращаться в нуль. Таким способом мы получаем k уравнений равновесия между координатами точек системы и проекциями прямо приложенных сил. Эти k новых уравнений в соединении сЗп — k уравнениями связей (2) определяют значения координат для положений равновесия, если известны прямо приложенные силы; в случае же неизвестных сил, эти силы могут быть определены из тех же уравнений и выразятся, следовательно, как функции от координат точек системы. Тогда говорят, что силы позиционны.
248. Метод множителей Лагранжа. Определение реакций.— Исключение вариаций из общего уравнения статики может быть выполнено более изящно применением метода множителей Лагранжа. Он заключается в следующем.
Умножим h (или 3ft—k) уравнений (3) соответственно на коэффициенты Я,, л2, .. .,\н и сложим с уравнением (1). Определим затем неопределенные множители Я, приравнивая нулю коэффициенты при h зависимых, вариациях. Тогда коэффициенты при k независимых вариациях также должны обратиться в нуль. Мы получаем, таким образом, 3п совместных уравнений
Глава X. Аналитическая стйТика
Предположим теперь, что силы (Х(, Yb ZJ или известны, или являются чисто позиционными, т. е. даны как функции координат точек системы. Уравнения (2) и (4) представляют собой систему Зя-|"А сониестных уравнений, позволяющих определить Зя неизвестных координат х, у, г и h множителей к для положения равновесия.
При помощи коэффициентов к можно определить силы связи, т.е. реакции, которые нужно ввести, чтобы заменить то или другое из уравнений (2).
Если отбросить связь Д = 0, то для того, чтобы уравнения равновесия (4) остались без изменения, к силе (Х[, Yu Z(\ действующей на точку М{, необходимо присоединить силу, имеющую проекции
, дА 1дА. 1дА
1 dxj ’ 1 dyi ’ 1 дг{ '
Таким образом, эффект связи ft = О по отношению к точке М{ в точности сводится к действию этой силы. По этой причине указанную силу и называют реакцией, происходящей от связи Д = 0. Направляющие коэффи-
dh дА ад
циепты этой реакции равны ; следовательно,
она нормальна к поверхности, выражающейся уравнением
ЛС*1, • • • Уь ** • • • гп) = °>
если рассматривать в нем координаты xi%yi,zi точки М{ как текущие, а координаты остальных точек как параметры, имеющие данные значения.
Приложение. — Применим этот способ к случаю точки М(х,у, г), движущейся без трения по поверхности, определяемой уравнением
f(x, у, г) = О,
предполагая, что проекции X, Y, Z движущей силы выражаются данными функциями от координат х, у, г. Условие равновесия в форме общего уравнения статики имеет В1д:
Ллх-f- Yby^-Zbz=^Q.
20*
308
Часть третья. Статика
Оно должно иметь место для всякого перемещения по поверхности, т. е. для перемещения, удовлетворяющего уравнению
Умножим это уравнение на X и сложим его с предыдущим; по методу неопределенных множителей получим, приравнивая нулю коэффициенты при каждой вариации,
*+*f=0' *+Xts- = o.
Эти три уравнения в соединении с уравнением поверхности определяют четыре неизвестные х, у, г и X для положения равновесия. Зная X, находим проекции реакции поверхности в виде
\?L
К дх ' Кду ' К дг '
Эта реакция нормальна к поверхности, в согласии с общей теорией.
249. Голономные системы в лагранжевых координатах. — Если голономная система п точек имеет k степеней свободы, ее положение определяется k независимыми параметрами. В этом случае можно предположить, что координаты точек М2,...,Мп системы выражены
в виде явных функций от k параметров qu q2,--.>4k
между которыми не существует никакой зависимости, посредством формул:
xt — х{ (qx, q2, • • • Qh),
У*—МЧи Я* • ¦ • ЧЛ (*'= !. 2> • • • «)•
2i — zi (<7i> <7а> • • • Як)-
