Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Параметры q называются лагранжевыми координатами системы.
Глава X. Аналитическая статика
309
Виртуальное перемещение системы выражается через k произвольных вариаций 8q этих координат формулами:
Если подставить эти значения в общее уравнение статики
Так как вариации 8q произвольны, то это уравнение распадается на систему следующих k уравнений, которые и являются уравнениями равновесия:
Если силы (Х{, Yit Zj) даны или зависят только от Положения или конфигурации системы, т. е. от параметров q, то эти k уравнений определят значения k лагранжевых координат, которым соответствует положение равновесия системы.
Замечание.—Большое преимущество лагранжевых координат заключается в удобстве их применения к системам с конечным числом степеней свободы, каково бы ни было
П
2 № 8*, 4- Гг 8л- + Zt Ьг{) = 0, (1')
г=1
то последнее примет вид:
k
2 QMr = о,
т=Л
где положено
п
Qi = О, Q2 = 0, ... , Qk = 0.
310
Часть третья. Статика
число точек системы. Так, в случае твердого тела мы имеем дело с бесконечным множеством точек, и практически невозможно написать все уравнения связей. Наоборот, положение тела зависит лишь от шести лагранжевых координат. Ничто не мешает также применить этот способ к непрерывным средам, так как декартовы координаты точек системы могут быть связаны с лагранжевыми координатами общими формулами. В этом случае число уравнений связей в декартовых координатах также было бы бесконечно.
250. Системы, находящиеся под действием консервативных сил. Силовая функция.—Силы, прямо приложенные к системе материальных точек, называются консервативными (в их совокупности), если они позиционные и если сумма их элементарных работ на всяком перемещении системы есть полный дифференциал функции U от Зя координат точек системы, т. е. если тождественно выполнено равенство
П
2 (*< а*, + у* 6л+6*<) =6^-
<=1
Это тождество распадается на Ъп условий
у — IE. у — JEL 7 — IE.
* dxi ' i dyi ’ * dzi
Функция U координат точек системы есть силовая функция.
Может также быть, что сумма элементарных работ прямо приложенных сил есть полный дифференциал функции U от лагранжевых координат, но это может иметь место лишь для перемещений, совместимых со связями. В этом случае имеем:
k
2Qrtyr = 5U.
I
Глава X. Аналитическая статика
311
Написанное тождество распадается на k следующих
gr_? (,= 1,2...........*).
Этот случай может иметь место и без того, чтобы суще-ствов?ла силовая функция в собственном смысле (как она введена для декартовых координат), но когда он встречается, можно сказать, в обобщенном смысле, что существует силовая функция в лагранжевых координатах.
Если существует силовая функция в координатах x,y,z, т. е. без учета связей, то существует, очевидно, и силовая функция в лагранжевых координатах, которая выводится из первой, если выразить х, у, z в координатах q.
Если существует силовая функция в том или другом смысле, то для положений равновесия имеем cU = 0. В этом заключается, как известно, необходимое условие максимума или минимума функции U. Таким образом, положения системы, для которых силовая функция имеет максимум или минимум, представляют собой, вообще говоря, положения равновесия системы.
Можно показать, что положения системы, для которых силовая функция принимает наибольшее значение, представляют собой положения устойчивого равновесия. Но вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы относится скорее к динамике, чем к статике. Мы встретимся с ним в динамике системы при обобщении теоремы Лежен-Дирихле, уже доказанной для точки (п° 147).
251. Равновесие весомой системы. — Одним из наиболее важных случаев консервативных сил является тот, когда единственная прямо приложенная сила есть сила тяжести. Докажем, что в этом случае существует силовая функция. Предположим, что ось z вертикальна и ориентирована в сторону действия силы тяжести. Элементарная работа силы тяжести для точки массы т и веса mg есть mgbz\ следовательно, сумма элементарных работ дди всей системы равна
g ^тЪг = МgK,
312
Часть третья. Статика
где М есть общая масса, Mg—вес системы и -ордината ее центра тяжести. Силовая функция равна поэтому Mg?. Положениями равновесия весомой системы (с обратимыми перемещениями) будут, следовательно, такие положения, для которых изменение уровня центра тяжести равно нулю при элементарном перемещении системы, т. е., вообще говоря, такие положения, для которых центр тяжести занимает самое высокое или самое низкое из возможных положений. В последнем случае, на основании только что упомянутой обобщенной теоремы Лежен-Дирихле, мы будем иметь положение устойчивого равновесия.
