Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Если обозначить через X, У, Z проекции на оси силы F, то аналитическое выражение виртуальной работы на перемещении 8s будет:
ХЬх -j- Yby-yziz.
Предположим, что виртуальное перемещение 8s происходит за бесконечно малый промежуток времени 8^; вектор
ММ' os
v ~~~й~ ~ ~ъТ ’
направленный и ориентированный, как ММ', называется виртуальной скоростью, сообщенной точке М. Виртуальную работу силы F на перемещении ММ' можно записать также, заменяя ММ' через ©5^,
Fv cos (F, v) bt,
так как угол силы F со скоростью v тот же, что и с
перемещением ММ'.
Если обозначить через vXJ vy, проекции виртуальной скорости v, имеющие значения
Глава X. Аналитическая статика
то виртуальная работа силы F может быть также написана в виде
{Xvx -j- Yvy -j- Zvg) fjf, или в виде скалярного произведения
(Fv) bt.
232. Основная лемма и формулировка принципа для систем с обратимыми перемещениями без трения.—
Принцип виртуальных перемещений допускает две различные формулировки в зависимости от природы связей, наложенных на систему, т. е. в зависимости от того, будут ли связи двусторонними или односторонними.
Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что связи ‘не зависят от времени и действуют без трения.
Когда говорят, что связи не зависят от времени, то выражают этим тот факт, что положения и конфигурации, которые связи допускают для системы, не зависят от времени и что элементарные перемещения, совместимые со связями, зависят лишь от положения и конфигурации системы, но не от времени.
Это условие проще всего осуществляется, если связи выражены уравнениями между координатами точек системы, не содержащими времени.
При этом необходимо различать два случая. Связи могут быть такими, что они, допуская для системы какое-нибудь перемещение, допускают и противоположное, т. е. такое, при котором перемещение каждой точки лишь изменяет свою ориентацию. Это имеет место в том случае, когда связи выражены уравнениями (конечными или дифференциальными) между координатами точек системы. Мы будем говорить в этом случае, что перемещения системы обратимы и что связи двусторонние, или удерживающие.
Но может также случиться, что связи, допуская некоторые перемещения, не допускают им противоположных. В этом случае связи называются односторонними, или неудержившощими. Это будет иметь место, когда связи
286
Часть третья. Статика
выражаются неравенствами. Например, когда некоторое твердое тело лежит на столе, то мы можем поднять его вверх, движение же в противоположную сторону невозможно. Мы оставим пока в стороне такие случаи и сформулируем принцип только для систем с обратимыми перемещениями.
Разделим, как и прежде, силы, действующие на точки системы, на два класса: прямо приложенные, или данные, или также активные силы, которые можно по желанию приложить к системе, и силы связи, или реакции связей, которые возникают в системе автоматически как следствие первых сил, из-за наличия связей.
Принцип виртуальныхперемещений для систем с обратимыми перемещениями может быть теперь сформулирован так:
Принцип. — Для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы при всяком совместимом со связями (виртуальном) перемещении системы сумма элементарных работ прямо приложенных сил была равна нулю.
Доказательство этого принципа основывается на следующей лемме.
Основная лемма. — Реакции связей, действующих без трения, обладают тем свойством, что сумма их работ на всяком виртуальном перемещении равна нулю; в частности это верно и для действительных перемещений.
Эта лемма представляет собой индуктивное обобщение известных нам физических фактов. Мы увидим в следующих параграфах, как можно ее проверить на большом числе частных случаев. Можно, однако, становясь на общую точку зрения и в целях логического изложения, рассматривать эту лемму как определение связей, действующих без трения (идеальных связей).
233. Доказательство принципа виртуальных перемещений.— Рассмотрим систему материальных точек Ми М2,..., Мп, подчиненных данным связям и находящихся под действием прямо приложенных сил. Требуется доказать, что для равновесия системы необходимо и достаточно,
Глава X. Аналитическая статика
287
чтобы сумма элементарных работ прямо приложенных сил на всяком виртуальном перемещении, была равна нулю.
Прежде всего, это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка М находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил, как данных, так и реакций связей. Эти силы имеют поэтому равнодействующую, равную нулю, и сумма их элементарных работ равна нулю для любого перемещения точки. Такое же заключение справедливо дчя каждой точки, поэтому сумма элементарных работ всех сил равна нулю для всякого перемещения системы, совместимо оно со связями или нет. Если же рассматривать только перемещения, совместимые со связями, то на них сумма элементарных работ реакций связи в отдельности равна нулю на основании предыдущей леммы, и, следовательно, сумма элементарных работ прямо приложенных сил тоже равна нулю.
