Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
242. Простое скольжение твердого тела, положенного на неподвижную поверхность. Равновесие винта.— Предположим сначала, что плоская поверхность, связанная с твердым телом, наложена на неподвижную плоскость и может срободно скользить по этой последней, как, например, ползун в своих направляющих. В этом случае говорят, что тело скользит без трения, если реакции неподвижной плоскости на твердое тело приводятся к одной результирующей (без пары), нормальной к обеим плоскостям. Предполагают, что эта результирующая приложена в некоторой точке твердого тела; у? работа и а всяком вцртуальном перемещении, т, е.
Глава X. Аналитическая статика
797
перемещении, параллельном неподвижной плоскости, очевидно равна нулю. Основная лемма, следовательно, верна в этом случае, и применение принципа виртуальных перемещений возможно. Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к телу, имели равнодействующую, нормальную к плоскости, так как в этом случае работа прямо приложенных сил равна нулю на всяком перемещении, совместимом со связями.
Предположим теперь, что некоторая кривая поверхность, связанная с твердым телом, точно накладывается на неподвижную кривую поверхность, по которой она может скользить свободно. Примеры такого рода мы имеем в случае вала, лежащего в подшипниках, или в случае поверхности нарезки винта, опирающегося на нарезку в гайке.
Для отсутствия трения необходимо, чтобы реакции, производимые на поверхность движущегося твердого тела бесконечно малым элементом неподвижной поверхности, имели равнодейсгиующую, проходящую через этот элемент и нормальную к общей касательной плоскости. Эта равнодействующая, будучи приложена в точке твердого тела, которая может скользить по элементу неподвижной поверхности, нормальна к перемещению точки приложения и не производит работы. Таким образом, основная лемма верна, и принцип виртуальных перемещений применим.
Найдем, в качестве приложения, условия равновесия винта, который может двигаться в неподвижной гайке.
Винт в гайке может иметь только винтовое движение, при котором он вращается вокруг своей оси и в то же время двигается поступательно и равномерно вдоль этой оси. Длина р, на которую он перемещается вдоль оси за время одного полного оборота, называется шагом винта.
Приведем силы, прямо приложенные к винту, к силе R, приложенной в какой-либо точке оси, и к паре с моментом Q. Пусть и — скорость i иртуального поступательного перемещения и w—угловая скорость виртуального вращения; сообщенных винту при винтовом дврженри; оба
2 98
Часть третья. Статика
вектора направлены по оси винта. Условие равновесия будет иметь вид:
(Лн) + (0») = 0.
Пусть R' есть проекция силы R на ось винта и М — результирующий момент пары относительно этой оси, на которой выбрана положительная ориентация. Предыдущее векторное уравнение может быть написано в алгебраической форме:
R'и -f- Miu = О,
откуда
М _______и_ — р
ft' <о 2к
Таким образом, для равновесия винта необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент активных сил относительно оси винта, с одной стороны, и сумма проекций сил на эту ось, с другой стороны, находились между собой в отношении шага винта к 2тс и имели, кроме того, противоположные знаки.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К МЕХАНИЗМАМ.
РАВНОВЕСИЕ ПРОСТЫХ МАШИН
243. Предварительная проверка основной леммы. —
Механизмы представляют собой соединения твердых тел, подчиненных некоторым связям. Тела, входящие в состав механизмов, могут опираться на неподвижные тела или друг на друга, они могут также быть связанными между собой шарнирами, цепями, нитями, ремнями и т. п.
Необходимо убедиться, что основная лемма верна для этих различных видов связей. Мы сделали это уже для неподвижных опор. Рассмотрим теперь случай, когда два тела связаны между собой шарниром или опираются одно на другое в общей точке или вдоль общей линии или поверхности. Возьмем одно из двух тел за подвижную систему отсчета; работа сил взаимодействия этих тел на
Глава X. Аналитическая статика
абсолютном перемещении равна сумме работ тех же сил на перемещениях: переносном и относительном. В переносном движении оба тела движутся как одна неизменяемая система, и работы сил действия и противодействия, равные по ве тчине и противоположные по знаку, дают в сумме нуль. Остается определить лишь работу сил, действующих со стороны тела, принятого за подвижную систему отсчета, на движущееся тело, что приводит к случаю, разобранному в предыдущем п°. Таким образом, если трения нет, то виртуальная работа сил связи равна нулю для всякого перемещения, совместимого с условиями, наложенными на систему.
Цепи составляются из колец, представляющих собой твердые тела, которые могут скользить, катиться и вертеться одни по другим, а также по другим телам, неподвижным или движущимся, таким как блоки, барабаны и т. п, Так как цепи натянуты (что всегда предполагается), то все предыдущие рассуждения можно применить и к этому виду связей.
