Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Часть rpetbR. Статика
переносного движения, прои:ходящую от движения осей по отношению к земному шару.
256. Равномерное вращение системы отсчета.—Если подвижные оси координат вращаются равномерно с угловой скоростью ю вокруг неподвижной оси, то сила инерции переносного движения, которую нужно приложить к материальной точхе, отнесенной к этой системе осей, совпадает, как известно (п‘ 170), с центробежной силой вращательного движения.
Центробежная сила перпендикулярна к оси вращения и стремится удалить от нее движущуюся точку. Если масса точки есть ш и ее расстояние от оси вращения г, то центробежная сила равна по величине
/иа»2г.
Элементарная работа э ой силы на бесконечно малом перемещении точки, при котором г меняется на dr, есть
m wPrdr - d —^— •
Следовательно, центробежная сила имеет силовую функцию ^-/га(шг)2, т. е. является консервативной силой.
Если бы вместо одной материальной точки мы рассматривали систему материальных точек, силовая функция
центробежных сил для нее была бы отл2.
257. Относительное равновесие тяжелой точки на поверхности вращения, вращающейся вокруг своей оси. Приложение. — Проведем в вертикальной плоскости горизонта :ьную ось Ох и ось Оу вертикально вверх (фиг. 40). Построим в плоскости Оху' кривую y=f(x). При враще !ии вокруг оси Оу эта кривая опишет поверхность вращения, ось которой вертикальна. Предположим, что эта поверхность вращается равномерно с угловой скоростью w вокруг своей оси, и найдем положение
Г лава X. Аналитическая статикй
отно:ительного равновесия тяжелой точки Ж, которая движется по поверхности. Мы можем предполнжить, что точка перемещается по некоторой заданной кривой, которая сама увлекается вращением поверхности.
Пусть х,у — координаты точки М в положении равновесия, »— угол, составленный нормалью к кривой с вертикалью, N — нормальная реакция поверхности. Так как массу точки можно принять за единицу, то ее вес есть g, и генгробежная сила ш2х. Пер-в-я сила вертикальна, вторая горизонтальна, и их сумма должна уравновесить N; отсюда имеем, в проекциях на оси, два уравнения:
аРх = Nbin да, g — Ncos <э.
Исключая N, получаем условие равновесия
(1) Фиг. 40.
Ра'смотрим два приложения этой формулы Предположив сначала, что образующая кривая есть окружность радиу-ci а, касательная к Ох в начале к .ординат (фиг. 40) и расположенная над этой осью. В этом случае х — а sin ср; следовательно, положение равновесия на окружности определяется формулой
___1 _ ш^а
COS <f g
Здесь поверхность вращения есть сфера. Е ли угловая скоростью неограниченно возрастает, о стремится к тг;2, и.положение равновесия приближается к экватору (никогда его не достигая).
В качестве второго примера найдем, какова до :жча быть образующая кривая, чтобы точка находилась в равновесии при всяком ее положении на этой кривой.
320
Часть третья. Статика
Уравнение равновесия (1) должно удовлетворяться при лю4 бом значении х. Заменив в нем tg <в чегез ^ , мы получим дифференциальное уравнение искомой кривой
откуда, интегрируя и предполагая начало координат на кривой, будем иметь:
Кривая есть парабола, имеющая ось вращения осью симметрии. Этот результат используется в конструкции центробежных регуляторов.
258. Изменение веса и вертикали с широтой.—
Вблизи от поверхности Земли вес есть равнодействующая земного притяжения и центробежной силы, развивающейся при вращении Земли вокруг своей оси.
Мы будем считать Землю шаром, радиус которого приближенно равен 6300 км. Притяжение Земли на единицу массы равно /М :R2, где М — масса Земли и /—постоянная тяготения. Эту силу, направленную к центру Земли, мы будем обозначать через F.
Земля делает один оборот вокруг своей оси в течение одних звездных суток, т. е. в течение 86 164 сек; ее угловая скорость, выраженная в \\сек, равна поэтому
2л
ш— 86J64 ‘
Центробежная сила, действующая на единицу массы, есть шар, где через р обозначено расстояние точки от земной оси. На широте к на поверхности сферы имеем р = R cos к. Центробежная сила (перпендикулярная к земной оси и лежащая в плоскости меридиана) имеет поэтому значение:
^ = ш2/? cos к.
Глава X. Аналитическая статика
321
Численное значение величины ш2# (представляющей собой ускорение) равно приблизительно 3,5 см]сек*. Центробежная сила остается поэтому всегда малой по сравнению с притяжением.
Сила тяжести g есть равнодействующая сил F и ¦?. Если обозначим через ^ острый угол между направлением отвесной линии (совпадающим с направлением g) и плоскостью экватора, то весьма малый угол f — к представляет собой отклонение вертикали, вызванное вращением Земли. Так как проекции g на плоскость экватора и земную ось равны соответствующим проекциям то имеют
место равенства .
gcos ^ = Fcosk — / = (F — aPR) cos k,
