Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Условие равновесия твердого тела выводится отсюда непосредственно. Единственное перемещение, совместимое со связями, есть произвольное вращение щ8/ вокруг неподвижной точки. Условие (1) предыдущего п°, выражающее то обстоятельство, что сумма элементарных работ активных сил равна нулю, приводится к виду:
(Gta) = О,
в предположении, что неподвижная точка принята за центр приведения (в этом случае и = 0). Так как направление вектора to может быть взято произвольным, то 0 = 0.
Полученное равенство является необходимым и достаточным уело'ием равновесия твердого тела, имеющего
294
Часть третья. Статика
неподвижную точку: результирующий момент прямо приложенных сил относительно неподвижной точки должен быть равен нулю.
Замечание. — Закрепление точки может быть осуществлено различными способами. Точка может быть закреплена непосредственно, как в случае волчка, опирающегося концом своей оси о подставку, имеющую углубление, или косвенно, например, при помощи системы осей вращения, как в часто встречающемся случае подвеса Кардана.
240. Тело, имеющее неподвижную ось. — Силами связи являются в данном случае реакции опор, которые удерживают ось неподвижной. Для отсутствия трения, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы эти реакции могли быть приведены к силам, приложенным в точках оси. Тогда, в согласии с леммой, эти силы не будут производить работы при всяком перемещении, совместимом со связями, т. е. оставляющем неподвижными точки оси. Следовательно, принцип виртуальных перемещений применим в этом случае, и условие равновесия может быть из него выведено. Единственное виртуальное перемещение есть вращение mbt вокруг неподвижной оси. Уравнение (1) п° 238 приводится к виду:
(Gw) = 0.
Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы вектор G был равен нулю или перпендикулярен к w, т. е. перпендикулярен к неподвижной оси. Это приводит к известному условию: для равновесия твердого тела, имеющего неподвижную ось, необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент прямо приложенных сил относительно этой оси был равен нулю.
Практически закрепление оси твердого тела достигается прямыми способами. Обычно закрепляются две точки оси, при помощи подшипников и т. п. Можно также закреплять и большее число точек, как это обычно делают для двери, вращающейся на шарнирах.
Глава X. Аналитическая статика
295
241. Скольжение, качение и верчение без трения поверхности, связанной с телом, по неподвижной поверхности.— Предположим, что поверхность S, связанная с твердым телом, вынуждена постоянно касаться неподвижной поверхности S', причем точка касания может каким-то образом перемещаться по обеим поверхностям. В этом случае говорят, что две касающиеся друг друга поверхности скользят, катятся и вертятся одна по другой (п° 75).
Силы связи представляют собою в данном случае
реакции, приложенные к движущемуся телу и производимые точками неподвижной поверхности, расположенными достаточно близко от точки касания, чтобы между двумя телами могли возникнуть молекулярные взаимодействия.
Говорят, что трения нет, если эти реакции имеют
равнодействующую, проходящую через точку касания и нормальную к обеим поверхностям. В этом случае основная лемма верна, так как равнодействующая реакций, приложенная в точке касания движущегося тела, нормальна ко всякому элементарному перемещению этой точки, совместимому со связями (все такие перемещения лежат
в общей касательной плоскости к обеим поверхностям), и потому сумма виртуальных работ сил связи равна нулю.
Предположим теперь, что поверхность S, связанная
с телом, вынужден! катиться и вертеться без скольжения по неподвижной поверхности S'. Силы связи в этом случае, как и в предыдущем, представляют собою реакции, производимые неподвижной поверхностью. Попрежнему говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания; при этом принимают, что равнодействующая приложена в этой точке твердого тела. Но так как скорость точки касания, по предположению, равна нулю при всяком перемещении, совместимом со связями, то работа равнодействующей, приложенной к этой точке, также равна нулю, что согласуется с основной леммой. Следовательно, в этом случае можно применить принцип виртуальных перемещений к выводу условий равновесия тела.
296
Часть третья. Статика
Предположим, наконец, что линейчатля поверхность, связанная с твердым телом, опирается на неподвижную линейчатую поверхность вдоль общей образующей и может только катиться по этой неподвижной поверхности, как это имеет место для ь.атка, катящегося по неподвижной плоскости. Трения нет, если силы связи имеют равнодействующую, проходящую через образующую касания, причем виртуальная работа равнодействующей будет равна нулю при качении тела. Принцип виртуальных перемещений может быть применен в этом случае и даст условия равновесия.
В общем случае, предполагающем скольжение, условие равновесия заключается в том, что прямо приложенные силы имеют равнодействующую, проходящую 4epej точку касания и нормальную к обеим поверхностям. В случае качения и верчзния без скольжения необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая прямо приложенных сил п оходилз через точку касания, но она не обязательно должна быть нормальной к поверхностям. В случае простого качения с образующей касания условие равновесия твердого тела состоит в том, что равнодейс! вующ~я прямо приложенных сил должна проходить через эту образующую. При этих условиях виртуальная работа сил, приложенных к телу, в самом деле равна нулю, как и работа реакций, и на том же основании.
