Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Vr = у (1 — тг) COS 0, и0= — I/ (l + -^з-) sin е.
На поверхности сферы
иг|г=я = 0, Уе1г=я = — 4 У sinB. (3.18)
Максимальное значение величины скорости на поверхности сфе-
з
ры равно ^ V> оно достигается в точках 0 = ± л/2.
Напомним, что в случае обтекания бесконечного цилиндра потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости максимальное значение скорости на поверхности цилиндра равно 2V.
Из интеграла Бернулли
v2 р V2 р
-----1- — =------1- —
2 р 2 ‘ р
имеем
р — р V2
~ r m
(l --^-sin2e).
р
Из симметрии распределения давлений следует, что главный вектор всех сил давления равен нулю. В этом заключается парадокс Даламбера в случае обтекания сферы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.
§ 4. ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ
При рассмотрении осесимметричных течений удобно использовать цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах уравнение неразрывности имеет вид (см. (4.16) гл. II)
+ = <4Л)
192
В осесимметричном течении, если ось симметрии принята за ось z, все гидродинамические величины не зависят от 0. Поэтому в этом случае из (4.1) имеем
^(р«Р) + ^(раг) = °.
(4.2)
Рассмотрим выражение рvpdz— pvzdp. Вследствие (4.2) оно является полным дифференциалом некоторой функции \р(р, z)
d\\> = pvpdz — pvzdp. (4.3)
Но по определению полного дифференциала
Поэтому
dq = ^-dp + ^-dz.
_____ 1 дт|?
р дг
Vn= —
____________1 дф
г_ Р <?Р '
(4.4)
(4.5)
Функцию \p(p, z), существование которой является следствием уравнения неразрывности и производные от которой по координатам связаны с компонентами скорости соотношениями (4.5), называют функцией тока для осесимметричного течения.
Так же как и в плоском случае, функция тока обладает двумя характерными свойствами.
1. Функция тока постоянна на линии тока. Действительно, в случае осесимметричного течения уравнение линий тока имеет вид
dp ___ dz
vP ~ vz '
Отсюда следует, что на линии тока Vpdz — vzdp = 0, т. е. d** = 0 и = const.
2. Через гр можно выразить расход жидкости. Подсчитаем расход жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, полученную вращением кривой АВ вокруг оси z (рис. 40):
(4.6)
Здесь п — внешняя нормаль к дуге АВ.
Учитывая, что в цилиндрических координатах векторы v и п имеют соответственно проекции ир, 0, vz и пр, 0, пг, перепишем (4.6) в виде
Q = \ ^ (vphp + VztldS‘
s
7 Зак, 1031
193
Поскольку dS = р dQ dl, то
Q= (5дР (vpnp + dl) d0 = 2ix {vpnp -f vztiz) dl.
Так как np — -?f' пг — ~ ~~jf> выражение для Q можно за-писать в виде
SB СВ
А Р (vp dz — vz dp) = 2я ^ di|) = 2я (фв — фл).
Очевидно, что если контур АВ замкнутый, то Q = 0.
Если движение потенциальное, то существует потенциал скоростей v = gradqp. В цилиндрических координатах
дф 1 дф дф /. Kt
°» = 7?' ^ =
причем для течения с осевой симметрией ve = 0. Из (4.7) и
(4.5) видно, что производные функций -ф и ср связаны следующими соотношениями:
_?ф _ _1_ дф _дф_ ____1_ jd\f
др р дг ’ дг р др \ )
Заметим, что (4.8) отличаются от условий Коши — Римана, которые имели место в плоской задаче.
Запишем теперь уравнение для функций <р и ф. Сначала продифференцируем первое из условий (4.8) по z, второе по р и вычтем одно из другого:
# + ?-7?-°- (4-9)
Уравнение (4.9) есть уравнение для функции тока ф в случае осесимметричных течений. Это уравнение отличается от уравнения Лапласа, которому удовлетворяла функция тока в плоском случае. Теперь умножим соотношения (4.8) на р, затем первое из них продифференцируем по р, а второе по 2 и сложим:
<4Л0>
Уравнение (4.10) есть уравнение для потенциала скоростей в случае осесимметричных течений. Оно представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах.
Заметим, что если известна одна из функций <р или ф, то вычисление второй из них сводится к квадратуре. Действительно, если известен потенциал скорости <р(р, z), то для г|)(р, z) имеем
дг|) , . дг|) ^__________ ( дф А дф
