Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
сразу.
§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С НУЛЕВОЙ
ТОЛЩИНОЙ
В этом и следующих параграфах излагается решение задачи обтекания тонкого профиля по методу Л. И. Седова.
Заменим профиль его средней линией и рассмотрим задачу обтекания дуги у — ЗГ (х) (рис. 35). В этом случае у*в — у* =
— у* (х) и SF (х) = у* (х) — ах (см. (1.3), (1.5)).
„ „ dw'
Будем искать комплексную скорость возмущении ~^- =
— v'x — iv', удовлетворяющую на бесконечности условию
^l = «-‘4)L = ° (3-1)
и на контуре условиям (1.15), которые теперь запишем в виде
d?T
v'y(x, +0)=V v'Ax, -0)= V
dw'
dx ’ df dx '
Вместо рассмотрим вспомогательную функцию
(3.2)
(3.3)
179
Для однозначности выберем ту ветвь корня, которая обеспечивает его положительное значение при 2 = х > а. Аналитическая функция f(z) определена во внешности профиля, однозначна и в силу (3.1) стремится к нулю, когда 2 стремится к бесконечности. Если найдем f(z), то станет известной и искомая „ dw'
скорость возмущении ¦
Будем искать f(z) во внешности разреза (—а, а). Пусть L\ — контур, охватывающий отрезок (—а, а), н 2 — точка вне этого контура. Введем функцию комплексного переменного
Ф(е)=у=7. (3-4)
считая 2 параметром. Функция Ф(?) имеет полюс первого порядка в точке ? = 2. Окружим эту точку замкнутым контуром у I и проведем конгур L2так, что-
* бы он содержал внутри себя
контуры / и L\. Обозначим через R1 и R2 разрезы, соединяющие контур I с Z-i п Z.2. Контур L (рис. 36), состоящий из контуров L\, /, L2 и разрезов Rь /?2, проходимых дважды, ограничивает односвязную область, в которой функция Ф(?) регулярна. Интеграл от функции, вычисленный по этому контуру, равен нулю:
Рис. 36. ^Ф(?)^ = 0. (3.5)
Поскольку интегралы по разрезам, проходимым в противоположных направлениях, в сумме дают нуль, из (3.5) следует, что
J, Ф (С) dl + J ti Ф (?) dl + J tj Ф (5) dl = 0. (3.6)
Первый интеграл в (3.6) вычислим по формуле Коши
jj, /-z dt, = 2nif (2).
Далее учтем, что равенство (3.6) имеет место при любых контурах Li и L%. Поэтому выберем в качестве контура L2 окружность большого радиуса R и устремим R к бесконечности. Интеграл по L2 при этом устремится к нулю, так как /(?)-> 0 при ? -> оо.
Таким образом, равенство (3.6) примет вид
2я/7 (2)+5Ь1Ф(?) = 0
180
или
(3.7)
Специализируем теперь вид контура Li. Выберем L\ в виде, указанном на рис. 37, и будем стягивать L\ к отрезку (—а, а), устремляя е к нулю. Интегралы по окружностям С\ и Сг при этом будут стремиться к нулю.
В результате получим 'НЕ + *0)
dt
dg. (3.8)
Рис. 37.
Введем компоненты скорости »'(?, Л). w'(i, ч) в подын-
тегральные выражения в (3.8). Из определения (3.3) для f(?) следует ___________
KQ — HI + <ч) ¦= [< (S, ч) — (¦>' (I, ч)] л/ ¦
Так как на верхнем берегу разреза
. / ? + а .___ / g + t’O + а ____ / а + Е .
V S — а V | + /0 — а у а — | ’
а на нижнем
. / ? + Q . / 1 — /0 + а _ / а +
"V Е-я V 1-/0- а Д/ а — равенство (3.8) можно переписать в виде
л/Щ7-'
____|_Га / а + Е ^ (Е. -°) - ч (Е. -0)
2я J-o V а — Е Е — г
(Е. +0) - Ш (Е, +0)
--------------------------------------
¦rfl.
Объединим в этом выражении члены с и' и члены с v
f(z) =
2л
LVI
+F (s- +°) + & -°)
E-z
dt +
. / Г° . / а + Е (Е. +0) + w' (Е. -0)
+ ------------г=^---------------
(3.9)
Учтем теперь граничные условия (3.2) для проекции на ось у скорости возмущений
О' (I. +0) = ^(6, -0) = У
dr( Е) dE
и примем, что
v'At, +0) + <(s, -0) = 0.
(3.10)
181
Подставляя (4.7) в (4.6), получаем
= ?1Ж,ц — fa *Щ<ц.
dz л J-а г —I 3 J -a dl г — I =
Так как ЗГ (а) — ЗГ (—а) — 0, то
^ = (4.8,
Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выполняется, если задняя кромка профиля z — a— точка возврата (У(а)= 9"(а) = 0).
§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТОНКОГО
ПРОФИЛЯ
Л. И. Седовым был предложен метод, позволяющий получить решение задачи обтекания произвольного тонкого профиля, если известно решение двух задач, рассмотренных в § 3 и 4: обтекания профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля.
