Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для комплексной скорости возмущений имеем
dw' _ dwnl dw[ dw'n /c ^
dz dz dz dz ’
После того как решена задача обтекания, нужно найти давление и подъемную силу. Поскольку жидкость идеальна и движение установившееся, воспользуемся интегралом Бернулли
Учитывая, что
= = (У+ <)* + <
и пренебрегая величинами у', v'y, получаем
или
Поскольку при рассмотрении произвольного тонкого профиля складываются скорости возмущений, соответствующие обтеканию профиля без толщины и обтеканию симметричного профиля, то складываются и возмущения давления р', а следовательно, и подъемные силы. Симметричный профиль при бесциркуляционном обтекании имеет нулевую подъемную силу. Поэтому произвольный тонкий профиль имеет такую же подъемную силу, как и профиль без толщины, проведенный по его средней линии.
ГЛАВА XIV
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Течение называется осесимметричным, если существует такая прямая /, что во всех плоскостях, проходящих через /, картина течения одинакова и траектории жидкой частицы лежат в полуплоскостях, проходящих через /. С осесимметричными течениями мы часто имеем дело на практике: например, при изучении течений в трубах и каналах, а также при обтекании тел вращения без угла атаки.
Осесимметричные течения могут описываться как в цилиндрических г, ф, г, так и в сферических г, 0, X координатах. В цилиндрических координатах в случае осесимметричного течения все гидродинамические величины зависят только от г и г и не зависят от ф, а в сферических координатах они зависят от г и 0 и не зависят от X.
Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гидродинамические величины функции только г). Поскольку жидкость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид divv = 0. Поскольку течение безвихревое, то v = grad ф и потенциал скоростей ф удовлетворяет уравнению Лапласа.
В сферических координатах выражение для divv имеет вид
Уравнение для потенциала скоростей получим, подставляя выражение для компонент скорости в этих координатах
§ 1. ИСТОЧНИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ
(см. (4.21) гл. II)
div v
г2 sin 0
{~§F sin 0) + Ж sin 0) + Ж (^г)} • (1-1)
г sin 0 д%
1 дф
(1.2)
в уравнение неразрывности
(1.3)
187
В случае сферически-симметричного течения ср = ф(г), поэтому из уравнения Лапласа (1.3) следует, что
с , -
откуда, интегрируя, получаем ф=------— + С\.
Так как потенциал скоростей определен с точностью до про< извольной постоянной, не ограничивая общности, можно считать, что С\ = 0, т. е.
Ф=-Т- (1-4)
Зная ф, можем вычислить проекции скорости на оси координат
о,-= 78-. ^9 = 0, ох = 0. (1.5)
Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат. Выразим постоянную С через обильность источника q. Обильность источника есть количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени. Очевидно, что
q = Anr2vr = AnC и С =
Тогда потенциал скоростей в случае течения от источника, помещенного в начале координат, запишется в виде
(р= 4пГ‘ О-*)
Замечание 1. Если источник помещен не в начале координат, а в точке с декартовыми координатами а, Ь, с, то
Ф = —
4я л/(х — а)2 + (у — Ь)2 + (г — с)2
Замечание 2. Потенциал скоростей ф = — является
решением уравнения Лапласа во всех точках, кроме точки г = 0.
Поставим вопрос, какому уравнению удовлетворяет этот потенциал в точке г = 0. Вычислим расход жидкости через любую поверхность, охватывающую начало координат:
S S
Используя формулу Гаусса — Остроградского, имеем
?=ШЛф^т-
X
Последнее преобразование носит формальный характер, так как функция ф и ее производные разрывны при г = 0. Таким обра*
188
зом, интеграл по любому объему т, содержащему начало координат, равен одному и тому же значению q. Вследствие этого подынтегральная функция Дф может быть представлена в виде
Аф = qb (г),
где 6(0 = б(л-)б(//)б(г)—трехмерная дельта-функция, или функция Дирака, равная нулю всюду, кроме г — О, такая, что
оо
^ ^ 6 (*) Ь (у) 6 (z) dx dy dz — 1.
—оо
На основании этого можно считать, что в области, содержащей начало координат, потенциал ф = — удовлетворяет не
уравнению Лапласа, а уравнению Пуассона с правой частью, содержащей функцию Дирака.
Хотя приведенное определение дельта-функции, как легко видеть, математически противоречиво, формальное использование этой функции часто оказывается очень полезным. В современной математической физике построена строгая теория функций Дирака и других аналогичных функций (теория обобщенных функций).
