Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, условие обтекания тонкого профиля может быть записано через скорости на верхней и нижней сторонах разреза
\|/(х, г/„) = \|/(*, +0) + -^-1 ув+...,
°У чо
¦ф' (х, уп) = Ф' (х, —0) + _0 У» +
(1.11)
¦ф' (х, +0) = — V (ЗГп (х) — ах), Ч>' (х, -0) = - У (<ГИ (.v) - ах).
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(—а, а).
176
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Будем искать комплексный потенциал обтекания w(z) в виде (1'6)'
Комплексная скорость возмущенного потока —=— — v' —iv'.
? dz х У
Очевидно, что на бесконечности выполнено условие
dw'
dz
— О- (2.1)
Задача состоит в нахождении функции w'{z), удовлетворяющей условию (2.1) на бесконечности, условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского. Условия обтекания, записанные для функции тока, имеют вид (1.12), а для компоненты скорости v' — (1.15). Как было показано в § 1, эти условия записываются на верхнем и нижнем берегах разреза (—а, а).
Перейдем от комплексного переменного г к комплексному переменному ?, используя преобразование Жуковского
г = г(?) = !(? + !). (2-2)
Это преобразование переводит внешность единичного круга в плоскости ? во внешность разреза (—а, а) в плоскости г. Положим
(2) = и/(z (?)) = №'(?). (2.3)
Будем искать функцию №"(?), определенную во внешности единичного круга в плоскости ?, удовлетворяющую условию на бесконечности
= 0
dl
и соответствующему условию на окружности единичного радиуса. Запишем это условие. Положим ? = ре10 и введем функции Ф'(р, 0), Ч"(р, 0) такие, что
1Г(?) = Ф'(Р, 0)+ЛГ'(Р, 0). (2.5)
Условия обтекания для функции тока возмущенного течения Цр'(х,у) записываются на разрезе (—а,+а). Этому соответствует задание значений функции ^(р, 0) на окружности р = 1. Учитывая, что г|/ (х, у) = Ч^' (р, 0), получаем условие для W' (р, 0) на окружности р = 1 в виде
/ ( — V [#-„ (a cos 0) — an cos 0], О<!0<; л,
'У (1,0) | _ у (д cos 0) — а a cos 0], л ^ 0 ^ 2л.
177
Введем функцию
( (a cos 0)
О<0<я,
!FU (a cos 0) (2-7)
——------я<0<2я.
/(0) =
Тогда
Im W' (?) — aV (acos0 — /(0)). (2.8)
Функцию W"(?), заданную во внешности круга р = 1 и удовлетворяющую условиям (2.4) и (2.6), будем искать в виде
*”<0=ir'nS + Zlff. (2.9)
где сп = ап + ibn.
Из (2.9) получим
ф/ (р’ 0)= 9 + Z°° о (a« cos n0 + bn sin «9)>
р» (2Л0)
Г т—\00 1
W' (р, 0) =---2^ In Р + 2^п=0 у a«sin nQ + C0S n0)-
На окружности p = 1 будем иметь
Ч7' (1, 0) = cosn0 — a„ sinn0). (2.11)
Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем
Zoo
п=о (*«cos п0 — s*n п0) = аV cos 0 — f (0))- (2-12)
Разложим функцию /(0) в ряд Фурье:
/ (0) = ЕГ=о (ап cos пв + р„ sin п0) и подставим этот ряд в (2.12). Тогда получим
Zoo
„=0 Фп cos n0 — ап sin nQ) =
= aV [a cos 0 — Z”=0 (a« cos пв + p„ sin n0)],
Из последнего уравнения найдем коэффициенты ап, Ьп:
ап= Vafin, п^ 1,
b0—— aVa0, bi = aV(a — aj), bn——aVa„, n^2.
Для определения Г воспользуемся постулатом Чаплыгина — Жуковского, согласно которому скорость в задней кромке профиля (2 = а) должна быть конечной, и, следовательно, в этой
точке должна быть конечной производная-^-. В силу того, что dtp' d<b 1 d(D 1
в задней кромке, которой соответствует 8 = 0, должно быть выполнено условие
аФ' =0. (2.13)
0 = 0
tfe
Воспользуемся формулой (2.10) для Ф'(р, 0) и запишем значе-„ йФ'
ния производной на окружности р=1:
dG>'
dQ
p=i
rfe
г
2л
+ У1 (—ноп sin ra0 -|- nba cos габ).
Отсюда, учитывая (2.13), находим оставшуюся до сих пор не определенной циркуляцию Г:
Г = — 2л ? “0 пЬЛ.
Таким образом, оказываются известными все коэффициенты, входящие в разложение (2.9), для функ- у1
ции W'H).
Замечание. Тригонометрические ряды в ряде случаев можно просуммиро- ^ вать и получить решение в замкнутом виде. Однако решение в замкнутом виде, как показано ниже, можно получить и Рис. 35.
