Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 76

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 110 >> Следующая


ф (t, X, у, Z) = Ио*ф, + и0г,ф2 + “ОгФз + ®*Ф4 + “«Фб + ®*Фб> (1-6)

где функции фI (t = 1, 2.........6) будут функциями координат

х, у, z. Такая форма представления потенциала принадлежит Г. Кирхгофу.

Из изложенного видно, что если заданы форма тела и закон его движения, то определение потенциала возмущенного движения приводит к задаче: найти вне поверхности 5 гармоническую функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности, нормальная производная которой на 5 принимает согласно (1.2) заданные значения (1.5). Эта задача в теории потенциала носит название внешней задачи Неймана.

Вследствие линейности (1.6) все функции фi(x,y,z), каждая в отдельности, должны удовлетворять уравнению Лапласа

Дф( = 0 (i=l,2,..., 6), (1.7)

202
условиям на поверхности S

— а ' дп s ’

д<р4

дп

= Р,

дфз

дп

' V»

(1.8)

= УУ — zP,

дп Is »» дп is

и условиям на бесконечности

<?ф5 I (?фб

—ii. | =20. — vv . —2-2-

ry,

(Зф, <4- _ дфг
дх оо ду оо дг
<?«

0.

= дф — уа

(1.9)

Определение каждой из этих функций приводит, следовательно, к задаче Неймана.

Из (1.8) видно, что функция ф1 соответствует тому случаю движения тела, когда

Uqx —' 1, Uq у 1 Uqz 0, сол = —• сог 0, (1.10)

т. е. тело движется в направлении оси л: с единичной скоростью.

Аналогичное значение имеют функции ф2 и ф3. Функция ф4 соответствует случаю, когда

Чох — и0у = и0г = 0, (дх = 1, 4>y = 4)z — 0, (1.11)

т. е. тело вращается с единичной угловой скоростью вокруг

оси х.

Общий вид потенциала (1.6) определяет зависимость ф от времени для нестационарных задач. Из (1.6) видно, что функция ф зависит от времени только через посредство и0 и со, по-

скольку функции зависят лишь от координат точек по-

верхности тела.

§ 2. ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ

Замечание о сферических функциях. Рассмотрим уравнение Лапласа

д2и . д2и . д2и р.

дх2 ду2 дг2

Построим решение этого уравнения, имеющее вид однородных полиномов степени п. При п = 0 существует одно линейно-независимое решение и0 = а = const. Однородный полином первой степени ut = ах -f- by + cz содержит три линейно-независимых решения. Квадратичный полином общего вида м2 = ах2 by2 -\-+ cz2 -f- dxy -f- eyz -f- fzx будет удовлетворять уравнению Лапласа, если а -f- b + с = 0. Таким образом, при п = 2 будем иметь пять линейно-независимых решений.

Можно показать, что существует 2п + 1 линейно-независимых однородных полиномов степени п, удовлетворяющих уравнению Лапласа.

203
Вводя сферическую систему координат по формулам

х — г sin 0 cos X, у— г sin 0 sin X, 2 = rcos0,

можно однородные гармонические полиномы степени п записать в виде

ип{х, у, z) = r”K„(0, X).

Функция Уп(0Д) называется поверхностной сферической, или просто сферической функцией порядка п. Очевидно, что функция Уп есть полином от cos 0, sin 0, cos X, sin X.

Из сказанного выше следует, что при каждом п существует 2п + 1 линейно-независимых сферических функций. Сферическая функция общего вида может быть представлена следующим образом:

Уп (9. Л) = а0Рп (cos 0) + ?" _! (ат cos тХ + bm sin тХ) Рп, т (cos 0),

1 dn

где Рп (х) = -^тг-jpr (х2 — 1)" — полиномы Лежандра, а Рп< т (х)= — rfmp /х\

= (1 — х2)2 —d*m — присоединенные функции Лежандра.

Полагая поочередно один из коэффициентов щ и bi равным единице, а остальные — нулями, получим 2га + 1 линейно-независимых сферических функций порядка п.

При этом легко показать, что наряду с rnYn(Q,X) решением уравнения Лапласа является также функция Yn (Q, X)/rn+1 и что всякая гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, может быть при достаточно больших г разложена в ряд вида

_ Vм Уп (0, X) /п 1Ч

f = L,.a-prH- (2->)

Вернемся к задаче о движении твердого тела и рассмотрим поведение <р при т -> оо.

Пусть 2 — сфера радиуса /? с центром в начале координат. Так как жидкость несжимаема и объем т тела не изменяется, то поток ее через поверхность Е должен равняться нулю, т. е.

Q=$$iVrfS = 0. (2.2)

?

Потенциал скоростей ф можно представить в виде (2.1), откуда

3<Р A v1" (д + уп (в. X) оч

Vr-j;- * Ьп.х />+2 • (2,3)

Тогда из (2.2) получим

-4лЛ - S S dS=°- (2*4)

?

204
Чтобы (2.4) выполнялось при R -> оо, необходимо положить А = 0. Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки разложение для ф имеет вид
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed