Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе рассматривается задача об обтекании тонкого крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Предположение о тонкости профиля позволяет сделать ряд существенных упрощений в общей постановке задачи.
§ I. ПОНЯТИЕ ТОНКОГО КРЫЛА И УСЛОВИЯ ОБТЕКАНИЯ ДЛЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
Крыло будем называть тонким, если, во-первых, мало отношение толщины крыла к длине его хорды 2а и, во-вторых, мал угол между направлением касательной в любой точке профиля и хордой. Кроме того, будем считать, что угол между направлением скорости и направлением хорды (угол атаки) мал.
Выберем систему координат х, у так, чтобы скорость V па бесконечности была параллельна оси х, и поместим начало координат в середину хорды профиля. Пусть
ув = 9г\(х), ун = Зго(х)
(1.1)
— уравнения верхней и нижней поверхностей крыла. Для тонкого профиля должны быть выполнены следующие неравенства:
2 а d&'l (х)
dx
« 1, « 1,
Г Ах)
2а d^2 U)
dx
< 1, « 1.
(1.2)
Заметим, что обычные профили, с которыми приходится иметь дело при дозвуковых скоростях полета, имеют закругленную переднюю кромку и не являются тонкими в смысле данного определения. Поэтому следует иметь в виду, что решение, построенное с учетом упрощений (1.2), не будет годиться в окре-
стности носика. Кроме того, исключаются из рассмотрения задачи об обтекании профилей под большими углами атаки.
Кроме системы координат хОу введем скрепленную с профилем систему координат х*Оу*, направив ось х* по хорде профиля (—а, а). Угол между направлением скорости V оси Ох и хордой оси Ох* есть угол атаки а (рис. 34).
Пусть
/в=*\<л, y:=rjx-) (1.з)
—- уравнения профиля в этой системе координат.
Учитывая связь между х, у и х*, у*
х* = х cos а — у sin а, у* = х sin а +¦ у cos а
174
и малость угла а, имеем
л'=х, у' = ха + у. (1.4)
Уравнения профиля (1.3) в системе координат х, у с учетом
(1.4) примут вид
ха + г/в = 3Гв (х), ха + уа = Т* (х),
или
У* = {х) — ах, уа = Тн{х) — ах. (1.5)
Перейдем теперь к рассмотрению общей постановки задачи обтекания и тех упрощений, которые могут быть сделаны в ней в случае тонкого профиля. Как было установлено ранее, задача об обтекании профиля будет решена, если найдена функция w(z), удовлетворяющая условиям на бесконечности, условиям обтекания профиля (сформулированным для функции ф или ф) и постулату Чаплыгина —
Жуковского.
Представим комплексный потенциал w(z) в виде
w (г) = Vz -f а/ (г), (1.6)
где Vz — комплексный потенциал поступательного потока, имеющего скорость V, a w'(z) — комплексный потенциал возмущений.
Очевидно, что на бесконечности
dw
dz
= у,
dz
= 0.
(1.7)
(1.8)
Учитывая определение комплексного потенциала
w (г) = ф (х, у) + /ф (х, у)
и (1.6), можем написать
Ф(лг, у) — Vx + y'{x, у),
ф (х, y)=Vy + ф' {х, у).
Здесь ф', ф'—потенциал скорости и функция тока возмущенного потока. Чтобы решить задачу об обтекании тонкого профиля, достаточно найти w'(z). Получим условие, которому должна удовлетворять функция ф'. Поскольку контур крыла S должен являться линией тока, то, не ограничивая общности, можно положить
Ф!
0.
(1.9)
Подставляя (1.5) и (1.8) в (1.9), получаем для верхней и нижней частей профиля
Ф' (х, yj = ~ V (STU [х) — ах),
Ф'(*, У») = - V (?Г„ (а-) - а,г). (1Л0)
175
Учитывая, что топкое крыло вносит в поток малые возмущения, разложим функции (х, ув) и \|/(x, у„) в ряд Тейлора по степеням ув и у„ в окрестности ув = у„ = 0:
Подставляя (1.11) в (1.10) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем условие обтекания для функции тока \|¦>'{х, у) в виде
Таким образом, задача об отыскании w(z) вне профиля по заданным значениям ty(x,y) на его контуре для случая тонкого профиля может быть сведена к задаче об отыскании w'(z) вне разреза (—а, а) по заданным значенням (1.12) для функции г|/ ка разрезе. При этом должны быть удовлетворены условия на бесконечности (1.7) и постулат Чаплыгина — Жуковского.
Получим теперь условия обтекания, выраженные через компоненты скорости. Представим vx(x,y), vy(x,y) в виде
где v'x, v'—скорости возмущений. Учитывая, что на контуре ^ = t,xtgP, можем записать
Разлагая функции «' а = v'y(x, ув) и и' н = о' (дс, уи) в ряд Тейлора по степеням ув и ун в окрестности ув = у„ = 0 и ограничиваясь в (1.14) малыми первого порядка малости, получаем условия обтекания в виде
