Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 71

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 110 >> Следующая


§ 2. ДИПОЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим течение от источника и стока. Пусть источник и сток расположены на расстоянии I друг от друга и имеют обильности, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Пусть система координат выбрана так, что они расположены на оси г в точках 1/2 и —1/2. Так как уравнение для ф линейно, то

Ф = Ф1 + Ф2, (2.1)

где ф1 — потенциал течения от источника:

Ф1 = — ~т------ 1 (2.2)

4л хг yi (г — ij2y

фг — потенциал течения от стока:

Ф2 = -т--7==^===-- (2-3)

4л д/д.2 + у2 + (г //2)2

Подставим (2.2), (2.3) в (2.1). Получим

__________________1_______________________1 )

I Vх2 + г/2 + (г - и2)2 V*2 + У2 + (г + и2)2 J ‘

Рассмотрим предельный случай, когда q -> оо, /->0, причем ц1— М = const. В этом случае течение называется течением от пространственного диполя. Разложим выражение в квадратных

189
скобках в ряд Тейлора по степеням I и перейдем к пределу при /-> 0.

В результате получим

Му

Ф = — ^ - гДе M = ql = const. (2.4)

Величина М называется моментом диполя. Нетрудно видеть, что

(2.4) можно записать в виде

Ф

_ ЛГ д /1 N 4л дг \ г ) '

Если ось диполя I не совпадает с координатной осью, то потенциал течения от диполя имеет вид

М д / \\ ф — 4я dl V г ) ’

где

~§f — -?^cos х) + cos У) + TF cos

— производная по направлению оси диполя.

§ 3. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ

Рассмотрим сферу радиуса R, движущуюся со скоростью и вдоль оси г; вектор скорости набегающего потока V направлен по оси z.

Требуется найти потенциал скоростей <р, удовлетворяющий уравнению Лапласа

Аф = 0 (3.1)

и граничным условиям на поверхности сферы

= иа (3.2)

<?<р

~дп

и на бесконечности

дф

дГ

= 0

, ’ ду

= о, Ul =V. (3.3)

> ^ Inrt

Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично и ф не зависит от X, получаем для функции ф = ф(г, 0) следующее уравнение:

-jp (г2 sin 0 (sin 0 ^) = °- (3-4)

Граничные условия (3.2), (3.3) можно записать в виде (рис. 39)

4^-1 = «cos0; (3.5)

дп Ir=R

vr Ir^.^ = V cos 0, ое|г^00 = —KsinO, О*. !,_>«, = 0, (3.6)

190
или

dtp

~W

V cos 0,

1 dtp 7 Ж

= — Vsin 0.

(3.7)

Исходя из вида уравнения (3.4) и граничных условий (3.5),

(3.7), решение будем искать в виде

Ф (г, 0) = Q (г) cos 0. (3.8)

Подставляя (3.8) в (3.4), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению Эйлера для функции Q(r)

г2ЛЗ+2г dQ

2Q == 0.

(3.9)

dr2 1 dr

Представив решение в виде Q = гк, получим следующее уравнение для k:

k2 + k - 2 = 0,

корни которого k\ = —2, k2 —

Поэтому

ф

Q — С\г + -jf,

= [Cxr + -^г) cos 0.

(3.10)

Постоянные С\ и С2 определим из граничных условий.

Из (3.10) имеем

¦ 0.

V

Рис. 39.

aeU^-CisinO, OxU№

(3.11)

Сопоставляя (3.11) и (3.6), видим, что С\ = V. На поверхности шара

Сравнивая (3.12) и (3.5), получаем

Таким образом, потенциал скоростей имеет вид ф(г, 0) = (уг + У-~и cos 0. Можно переписать эту формулу в виде

Ф= Vz + j (уУ [V — и)г,

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15) 191
или

R3

Очевидно, что первое слагаемое есть потенциал поступательного потока со скоростью V, а второе — потенциал диполя с моментом М — 2лR3(u— V).

Таким образом, обтекание сферы может быть представлено в виде наложения двух таких течений.

Если сфера неподвижна, то и = 0 и

Ф = У (7 +-1 iL) cos 0. (3 ]6)

Если жидкость на бесконечности покоится, то V — 0 и

ф = — 11 cos 0. (3.17)

Изучим распределение скоростей на поверхности неподвижной сферы (и — 0). Из (3.16) имеем
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed