Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. ф при г-*- оо стремится к нулю как 1 /г2, av = grac^— как 1 /г3.
§ 3. РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА
Рассмотрим вопрос о силовом воздействии потока на тело.
На поверхность тела со стороны жидкости действуют силы давления, приложенные к элементам поверхности 5. Для главного вектора этих сил и для главного момента относительно начала координат можно записать выражения
где п — орт внешней нормали к поверхности S; г — радиус-вектор точки поверхности относительно начала координат.
Так как жидкость у нас идеальная, несжимаемая, массовые силы отсутствуют, течение безвихревое, то можно записать интеграл Лагранжа в системе Хо, г/о, ?о
Считая, что в бесконечно далекой точке потенциал скорости определен для неустановившихся течений с точностью до некоторой функции времени, получаем
(2.5)
(3.1)
(3.2)
s
(3.3)
В бесконечно далекой точке скорость равна нулю и
откуда
(3.4)
где
ф' = ф — \ fi W dt.
(3.5)
205
Опуская штрихи, можем переписать (3.4) в виде
(3.6)
Подставив (3.6) в (3.1) и (3.2), получим
(3.7)
L = eSSfX">(fL + -f)'iS-
(3.8)
s
Выражения для R и L можно также получить и из закона количества движения и закона момента количества движения.
Возьмем произвольную неподвижную в пространстве поверхность 2, охватывающую поверхность S. Количество движения К жидкости, заключенной в объеме т между поверхностями S и 2, равно
Используя формулу Гаусса — Остроградского, приведем К к виду
Применяя закон количества движения к массе жидкости в объеме т, будем иметь
где R' — главный век-тор сил, приложенных к поверхности 2 со стороны жидкости, находящейся вне т. Отсюда
Количество движения частиц жидкости, находящихся в объеме т, меняется со временем. Часть количества движения переносится через поверхность 2 за счет жидкости, втекающей (вытекающей) через эту поверхность. Поэтому суммарное изменение за время dt количества движения жидкости в объеме т равно
(3.9)
(3.10)
s
S
(3.11)
(3.12)
Для R', учитывая (3.6), получаем
R'=-SS рп dS=p SSn (4f+4)dS-
(3.13)
2
2
206
Последнее слагаемое в (3.14) соответствует изменению количества движения за счет жидкости, которая втекла в объем т или вытекла из него за время dt через поверхность Е. Таким образом,
= ~Zt SS Р<^П dS ~ ~Zi \\ p^n dS + \ \ PvvndS- (ЗЛ5)
? S ?
Подставляя (3.13) и (3.15) в (3.12), получим
К = РИП(Ж + Х)^-1ИРФП^ +
? ?
^it \\p^ndS~Ируу*dSi ^3‘16^
S ?
Так как поверхность Е неподвижна, то
¦— ^ рфп dS = ^ рп dS, поэтому ? ?
R3=1 ir И p^n ds + р SS (п ~ vt,«)dS- ^ЗЛ7^
S 2
Учитывая, что на Е при больших R потенциал <р имеет порядок a v — порядок получаем, что при R -> оо интег-
рал по Е в (3.17) будет стремиться к нулю. Таким образом, устремляя R к бесконечности, находим, что сила, с которой действует безграничная жидкость на тело, такова:
R = ^-$$pcpndS. (3.18)
s
Теперь получим формулу для главного момента сил давлений, приложенных к телу. Если I — момент количества движения жидкости в объеме х, L и L' — главные моменты сил давлений, которые действуют на поверхности 5 и Е, то закон моментов запишется в виде
4t = L'-L. (3.19)
Согласно определению
1 = р ^$ (гXу) dr = р ^ (г X grad ф) dx.
t г
Применяя формулу Гаусса — Остроградского, получаем
1 = р ^ ф (г X n) dS — р ^ ф (г X п) dS. (3.20)
? s
307
Вместо (3.12) будем иметь
(3.21)
Выражения для и (3.15):
будут аналогичны выражениям (3.13)
(3.22)
2
Учитывая неподвижность 2 в пространстве, приходим к формуле, аналогичной (3.17); затем, устремляя R к бесконечности, получаем окончательно
