Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично для qp(p, г)
Ф = Ф(е.,г.>+?'^ (4.12)
Рассмотрим несколько примеров. Запишем функции тока для некоторых осесимметричных течений.
1. Поступательный поток qp = Vz. По формуле (4.11) имеем
q2
ip = — V + С. Если ось потока р = 0 есть линия тока гр = О, то С = 0 и i]j = —j- р2.
2. Течение от источника ф =-----2_ —=-----^---, 1.. . . . Оче-
4л г 4л Vp2 + z2
видно, что
дф____q_______р_____ dqp___ q ___z_____
dp 4л (Vp2 + z2)3’ dz 4л (Vp2 + z2 )3
Используя второе из соотношений (4.8), имеем
-------i-----PI--- Отсюда
d-ф
dp
4л ( VP2 + 22 )3
* = i1Г?Т + Нг)-
Вычисляя производную от -ф по z, получаем
_Ч_______Р2 | df
dz 4л (Vp2 + z2)3 dz
Но на основании первого из равенств (4.8) откуда
следует, что = 0, т. е. f (z) = С = const.
Таким образом, функция тока в случае течения от источника будет
+ = tv?T7+C- <4'13)
М z М д / 1 \
о. Течение от диполя: ср =--------------------1 , - - — I
4л г3 4л dz \ У Р2 + z2 /
Запишем выражение для 4^-, используя первое равенство (4.8):
d^ _ Мр д2___________________________________1_d / М д 1 \
dz 4л др dz у р2 + z2 dz V. 4л ^ dp Ур2 + г2 )
Отсюда будем иметь
I м д 1 , г / \
Вычисляя производную от этой функции по р и сравнивая ее с выражением для которое можно получить исходя из
1* 195
второго соотношения (4.8), найдем, что-^- = 0, т. е. /(р)= const. Таким образом, функция тока для течения от диполя имеет
вид
м
4я (-у/pг + z2Y
+ С.
(4.14)
Замечание о по стано в ке задач в случае потенциальных осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Если ищется потенциал скоростей ф, то в случае осесимметричного течения нужно интегрировать уравнение Лапласа (4.10) с граничными усло-
виями на поверхности тела
дф
~дп
= 0 и на бесконечности (если
рассматривается обтекание неподвижного тела безграничным
потоком)
дф
"dfT
0,
дф
дг
Другими словами, задача о нахождении ф(р,г) есть задача Неймана соответственно внутренняя или внешняя в зависимости от того, бесконечна область или ограничена.
Если ищется функция тока ф, то интегрируется уравнение (4.9) с граничными условиями на теле “ф | s = 0 и на бесконечно-1 дф „ 1 дф ,, сти —^ =0,--------г4- = V.
р дг х Р др х
Как уже говорилось, в отличие от плоских течений функция тока в данном случае не является гармонической функцией.
С этим связано то обстоятельство, что для осесимметричных течений метод конформных отображений, столь эффективный для плоских задач, не может быть использован. Для решения задач в осесимметричном случае хорошо зарекомендовал себя метод источников и стоков, который рассматривается в следующем параграфе.
§ 5. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ
Рассмотрим продольное обтекание тела, полученного вращением кривой А1В вокруг оси г (рис. 41).
Идея метода источников и стоков состоит в замене рассматриваемого тела системой источников и стоков, расположенных на оси вращения. Причем одна из поверхностей тока для течения, образованного этой системой особенностей, должна совпадать с поверхностью тела вращения. Другими словами, по за-
196
данному телу вращения требуется подобрать распределение ис-точников и стоков.
Пусть источники (и стоки) распределены на оси z непрерывно с плотностью ji(?). Тогда суммарная обильность источников (и стоков), расположенных на отрезке ?, ? -f- dt,, равна ji(?)d?. При малом dt, можно считать, что в точке ? расположен точечный источник обильности \i(t,)d^. Функция тока для течения от этого источника равна
(5Л)
Интегрируя (5.1), получаем функцию тока для течения, образованного непрерывно распределенными по оси г источниками с плотностью (j, (^):
(6'2)
Наложим на этот поток поступательный поток со скоростью V, направленной вдоль оси z. Функция тока для поступательного потока
^2 = -р2-^. (5.3)
Поскольку уравнение для функции тока линейно, то для описания суммарного течения функции тока складываются:
¦ (Р. г) - -^~ V Г/ <0 (1 ~ ) <*¦ <54>
