Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Значения рх, р2 являются нулями для Q (р) - Up + А и в общем случае это
простые нули. Когда р стремится к р* или р2, интеграл в соотношении
(2.22) расходится и X -> ± оо, что и требуется. Если между этими двумя
нулями Q (р) - ?/р + И < О и v > 0, то рх < 0 и решение имеет вид,
приведенный на рис. 2.7, где р монотонно возрастает от рх на +оо до р2 на
-оо. Если Q (р) - Up + А > 0 и v > 0, то решение возрастает от р2 на - оо
до pj на +оо.
р = р (X), X =x-Ut,
{С (р) - Рх - vPxx-Интегрируя один раз, получаем
Q (р) - Up + А = vpx,
(2.21)
(2.22)
Q (pi) - Up-у + А - Q (р2) - Up2 + А - 0.
2.4. Структура ударной волны
39
(В силу уравнения (2.21) ясно, что если рл и р2 фиксированы (так что U та
А также фиксированы), то изменение v можно компенсировать изменением
масштаба по оси X. При v -0 профиль на рис. 2.7 сжимается в Х-направлении
и в пределе превращается в ступенчатый переход от р, к р2, перемещающийся
со скоростью,
Рис. 2.7. Структура ударной волны.
определяемой равенством (2.23). Это в точности совпадает с разрывным
решением, изображенным на рис. 2.5. Для малых ненулевых значений v
ударная волна представляет собой быстрое, но непрерывное возрастание
параметров течения, происходящее в узкой области. В этой узкой области
опрокидывание, вызываемое нелинейностью, компенсируется диффузией, что
приводит к стационарному профилю.
Одним из важнейших моментов является знак] скачка р. Если с' (р) > 0, то
непрерывная волна, несущая увеличение р, опрокинется вперед и возникнет
ударная волна с p2>pi; если с> (Р) < 0, то произойдет опрокидывание назад
и возникнет ударная волна с р2 < рл-
Структура ударной волны, определяемая уравнением (2.21), должна быть
такой же. Как было указано выше, из условия устойчивости следует
положительность v, так что направление возрастания р определяется знаком
выражения Q (р) - Up + А между двумя нулями рл и р2. Но с' (р) = Q" (р).
Отсюда следует, что при с' (р) >0 между нулями Q (р) - Up + А < 0 и
решение имеет вид, представленный на рис. 2.7 с р2 > pt, как это и
требуется. Если с' (р) < 0, то ступенька меняется па противоположную и р2
< рл- Таким образом, рассуждения об опрокидывании и структура ударной
волны согласуются друг с другом.
В частном случае, когда Q (р) является квадратичным трехчленом
Q (р) = "Р2 + Рр + У, (2.24)
интеграл в (2.22) легко вычисляется. Знак а определяет знак с' (р) = Q"
(р) и для определенности рассмотрим случай а > 0. Можно положить
Q - Up + А = -а (р - Рл) (р2 - р),
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
40
где
U = Р + а (рх + р2), А = арх р2 - у.
Тогда соотношение (2.22) принимает вид
А=_С *?_---------------= г1п-?^-. (2.25)
V J Я(Р - Pl)(P2 - р) "(Р2-Pi) Р -Pi
Если X -*¦ оо, то р р! экспоненциально, а если X -> - оо, то р -"- р2
экспоненциально. Переходная область не имеет точной толщины, но ее можно
измерить различными способами, взяв, например, расстояние, на котором
плотность меняется на 90%, или отношение (р2 - pj) к максимальной
крутизне | рЛ- j. Ясно, что все эти меры толщины пропорциональны величине
(2.26)
¦Я(Р2 - Pi)
Если она мала по сравнению с другими характерными длинами задачи, то
резкий ударный переход удовлетворительно аппроксимируется разрывом. Мы
видим, что эта толщина стремится к нулю, когда v -v 0 при фиксированных
рх, р2, но следует также отметить, что достаточно слабая ударная волна с
(р2 - pj)/p, -0 неизбежно становится достаточно толстой для любого сколь
угодно малого фиксированного v. Для слабых ударных волн Q (р) всегда
можно аппроксимировать подходящей квадратичной функцией в интервале от р!
до р2, так что применима формула (2.25). Она в целом неплохо описывает
форму даже ударных волн умеренной интенсивности.
Решение, описывающее структуру ударной волны, представляет собой лишь
одно частное решение уравнения (2.20), но этот пример позволяет
надеяться, что в общем случае, когда v -U в надлежащем безразмерном виде,
решения уравнения (2.20) стремятся к разрывным решениям уравнения
Pi + с (Р) Рх = °> для которых выполняется условие на разрыве
JJ Q (Р2)-<? (Pi)
Р2-Р1
Это верно, если решения сравниваются для фиксированных х и при v -> 0.
Однако поскольку переходная область ударной волны становится очень
широкой, когда (р2 - pi)/pi 0 при фиксированном V, то в любой задаче, в
которой при t -> 00 интенсивности ударных волн стремятся к нулю, может
наступить конечная стадия с чрезвычайно слабыми ударными волнами, когда
разрывная теория станет неприменимой. Обычно эта стадия совершенно
2.5. Слабые ударные волны
41
не представляет интереса, так как ударные волны должны быть уж очень
слабыми.
Другими словами, можно сказать, что два различных подхода к устранению
неприемлемых многозначных решений согласуются. Разрывные ударные волны
аналитически проще, иихможно использовать в более сложных задачах.
Для более подробного обоснования этих рассуждений нужно найти в явном
виде некоторые решения уравнения (2.20) с ударными волнами различной
