Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
исключает некоторых недопустимых ударных волн.
Другая точка зрения на эти критерии состоит в том, что если любую
допустимую разрывную ударную волну описывать более точными уравнениями,
то она будет иметь надлежащую структуру. Это более приемлемая точка
зрения, поскольку она связана с более реалистическим описанием процесса.
Однако подобный анализ может оказаться чересчур сложным, и часто
приходится ограничиваться косвенными доводами в рамках более простой
теории.
Этот второй подход был применен при рассмотрении структуры ударной волны
в § 2.4. Когда с' (р) > 0, подходящая структура была обнаружена лишь при
р2 > рх; поскольку с' (р) > 0, это эквивалентно условию с2 > сх. Когда с'
(р) < 0, мы получаем, что р2 < р1; но изменение знака с' (р) снова дает
с2 > ci- Поскольку с (р) = Q' (р), скорость ударной волны, в силу теоремы
Ролля, лежит между сг и с2.
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
44
2.7. Замечание о законах сохранения и слабых решениях
С математической точки зрения "составные" решения, состоящие из
непрерывно дифференцируемой части, удовлетворяющей уравнению
о, (2.31)
и разрывной части, удовлетворяющей условию
-U [р] + [Q (р)] = 0, (2.32)
можно рассматривать как слабые решения уравнения (2.31). Коротко говоря,
эту идею можно пояснить следующим образом. Рассмотрим наряду с (2.31)
уравнение
- j j {рфг + Q (Р) Фд} dxdt = 0, (2.33)
где R - произвольный прямоугольник в (х, ^-плоскости, а ф - произвольная
"пробная" функция с непрерывными первыми производными в R, обращающаяся[в
нуль на границе R. Если р п Q (р) непрерывно дифференцируемы, то
уравнения (2.31) и (2.33) эквивалентны. С одной стороны, если (2.31)
умножить на ф и проинтегрировать по R, то, интегрируя затем по частям,
получаем (2.33). С другой стороны, из (2.33), интегрируя по частям,
получаем равенство
R
Поскольку это равенство должно быть справедливым для произвольной пробной
функции ф, отсюда следует (2.31). Однако уравнение (2.33) имеет более
широкий класс решений, поскольку допустимые функции р (х, t) не обязаны
иметь производные. Функции р (х, i), удовлетворяющие равенству (2.33) для
всех пробных функций ф, называются слабыми решениями уравнения (2.31).
Теперь выясним, что дает нам это расширение понятия решения. Рассмотрим
возможность существования слабого решения р (х, t), т. е. решения,
удовлетворяющего уравнению (2.33), непрерывно дифференцируемого в двух
частях Rl и R2 прямоугольника R и имеющего разрыв первого рода на границе
S, разделяющей и К2. Интегрируя в каждой из областей Нъ R2 по частям,
полу-
2.7. Законы сохранения и слабые решения
45
чаем из (2.33)
Ri #2
+ [ {Ip]1 + (р)1 (tm)}ф *=0,
s
где (Z, i7i) - нормаль к S, а [р] и [<2 (р)] - скачки на S. Криволинейный
интеграл по S образован граничными членами интегралов по /('] и R2,
полученными при интегрировании по частям. Так как это равенство должно
быть справедливым для всех пробных функций ф, отсюда следует, что (2.31)
справедливо внутри каждой из областей Ru 1?2, но, кроме того, имеет место
равенство
[р] I + [<? (р)1 т = 0 на S.
Это и есть условие на разрыве (2.32), поскольку U = -1/т. Таким образом,
слабое решение рассмотренного вида удовлетворяет уравнению (2.31) в
точках непрерывности и имеет разрыв, на котором выполняется условие
(2.32). Как раз то, что нам нужно!
На первый взгляд введение понятия слабого решения позоляет ¦обойти более
сложное и менее точное рассмотрение реального физического процесса. Но в
действительности это не так. Для дифференциального уравнения
существует бесконечное число законов сохранения
Ж_ьДМ. = о, (2.34)
dt 1 dx v
требуется только, чтобы выполнялось соотношение
S' (Р) = /' (Р) с (Р)- (2-35)
Для дифференцируемых функций р (х, t) все эти законы эквивалентны. Однако
их интегральные формы не эквивалентны и приводят к различным условиям па
разрыве. Слабое решение уравнения (2.34) дает условие вида
-U If (р)] + lg (р)] = 0, (2.36)
и различный выбор / и g приводит к различным соотношениям между pl5 р2 и
U. Следовательно, для того чтобы выбрать слабое решение, отвечающее
данной задаче, необходимо изучить сам физический процесс.
Учитывая дифференциальное уравнение (2.34), можно предложить закон
сохранения в интегральном виде
Xi
4j/(P)<b+te(P)C = 0- (2.37)
*2
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
46
Однако, чтобы выяснить, будет ли этот закон справедлив для не-
дифференцируемых функций р, придется вернуться к первоначальной
формулировке задачи. В § 2.2 последовательность рас-суждений была
правильной: сначала уравнение (2.10), затем уравнение (2.11). Обратная
последовательность, т. е. переход от дифференциального уравнения в
частных производных к эквивалентному интегральному закону, приводит к
потере единственности.
Если (2.37) - истинный закон сохранения, то соотношение (2.36) можно
вывести как условие на разрыве теми же рассуждениями, что и в § 2.3.
Таким образом, правильный выбор слабого решения определяется выбором
