Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
профиля, Ъ - для трансформированного опрокидывающегося профиля.
из возможных слабых решений, но этот выбор правилен лишь тогда, когда Q
(р) - квадратичная функция или аппроксимируется квадратичной функцией,
поскольку только в этом случае интегральный аналог равенства (2.4-3)
сохраняется при переходе через разрыв.
Построение разрыва можно теперь вести параллельно с построением
непрерывного решения (2.40). Поскольку теперь мы работаем с с, не нужно
делать усложняющего дело различия между случаями с' (р) > 0 и с' (р) <;
0. Согласно (2.40), решение в момент времени t получается из исходного
профиля с = F (!) сдвигом каждой точки вправо на расстояние F (!) t, как
показано на рис. 2.9. Разрыв вырезает часть, соответствующую отрезку |2
^> ! ^ Если линию разрыва на рис. 2.9, Ъ также отобразить обратно на рис.
2.9, а, то она перейдет в отрезок хорды, соединяющий точки кривой F (!) с
! = !х и ! = !г. Далее, поскольку площади при таком отображении
сохраняются, свойство равных площадей остается справедливым и для рис.
2.9, а; площади областей, ограниченных кривой F и отрезками хорды, равны
между собой. Таким образом, разрыв можно полностью найти по заданной
кривой F (!), построив все хорды со свойством равных площадей. Точки ! =
!ц ! = !г) лежащие на концах такой хорды, отвечают характеристикам,
пересекающимся в точке разры-
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
50
ва. Соответствующая (х, ^-плоскость изображена на рис. 2.10. Аналитически
свойство равных площадей можно выразить следующим образом:
h
4 iF (Ь) + F (fe)} (It -У=] F (I) dt, (2.45)
62
поскольку левая часть равна площади, ограниченной сверху хордой, а правая
- площади, ограниченной сверху кривой F. Если разрыв в момент времени t
находится в точке х = s (t), то имеем также
s (t) = + F (У t, (2.46)
s (г) = ga + F (У t, (2.47)
что следует из второго из равенств (2.40). Три уравнения (2.45) - (2.47)
определяют три функции s (t), (t) и |2 (t). Функция s (t)
Рис. 2.10. (х, ^-диаграмма, соответствующая построению разрыва на рис.
2.9.
находится с помощью функций (t) и Н2 (t), которые определяют
характеристики, пересекающиеся в точке разрыва в момент времени t.
Значения с на двух сторонах разрыва равны ct= F (У и с2 = F (У; значения
р находятся по значениям с.
Поскольку равенства (2.45) - (2.47), определяющие положение разрыва,
получены геометрически, интересно проверить непосредственно, что они
действительно удовлетворяют условию (2.41) на разрыве. Эту проверку можно
провести как независимый вывод равенства (2.45). Нам надо найти три
функции s (t), (t)
и ?2 (t), удовлетворяющие равенствам (2.46), (2.47) и условию
* (<) = % {F (У + F (У}
(2.48)
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
51
(точка означает дифференцирование по t). Из (2.46) и (2.47) имеем
-Е"
F (6,)-Fffs)
-git.' (2-49>
8 (0 - {1 + tF' (?i)} ti 4~ F (У,
s (0 = {1 + ^ (?2)} I2 + ^ (У •
Взяв для сохранения симметрии среднее арифметическое двух
последних выражений для s, подставив для t выражение (2.49) и затем
подставив результат в (2.48), получим
4" {F' (Bi) it + F' (У ы {It - У +
+4- {F (Ь)+f т it - У=f (у L -*¦ (у у
Проинтегрировав зто выражение, получим равенство (2.45); постоянную
интегрирования можно опустить, поскольку начальная ¦точка разрыва = Н2
должна быть решением.
Выражение (2.49) для t можно использовать для исследования развития
разрыва. Поскольку t >> 0, все интересующие нас хорды на рис. 2.9, а
должны иметь отрицательный наклон. Так как, согласно выбору обозначений,
> ?2, имеем F (?") >> F (У, т. е. с2 > Cj, как и следует из условия
опрокидывания. Самое раннее время возникновения разрыва соответствует
самой крутой хорде. Этому отвечает предельный случай, когда хорда
является касательной в точке перегиба, скажем | = ?в. В этом случае F (У
= F (?2)7 так что разрыв начинается с нулевого скачка и в момент времени
t = L_
В F' (1В) ¦
Этот результат полностью совпадает с выведенным ранее условием (2.8) для
точки первого опрокидывания. Для кривой F показанного на рис. 2.9, а вида
при t оо хорды стремятся к горизонталям, при этом F (У - F (У -"- 0,
откуда с2 - сг 0, так что при t -00 разрыв стремится к нулю.
Одиночный горб
Для подробного изучения разрыва предположим сначала, что F {%) равна
некоторой постоянной с0 вне интервала 0 < | < L и F (|) > с0 в зтом
интервале. Уравнение (2.45) можно переписать в виде
И
4- {F (У + F (У - 2с0} & - У = j {F (c) - с0} dt.
?2
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
52
С ростом времени возрастает и в какой-то момент превосходит L. На этой
стадии F (gx) = с0 и разрыв движется в область, где с = е0. Функцию gx
(t) можно исключить, поскольку теперь
L
4 {F (&) " со} (Si - У = } {F (c) - с0} dg,
F(W-co'
Следовательно,
L
4!{f (Нг) - с0}2 * = j {F(Н) - с0} dg.
?2
На этой стадии положение разрыва и значение с сразу за разрывом даются
равенствами
s (t) = l2 + c = r(g2), (2-50)
где g2 (t) удовлетворяет соотношению
4^(H2)-c0}2*= [ {F(g)-c0}dg
