Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 23

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 215 >> Следующая

интенсивности. Хотя в случае произвольной зависимости Q (р) такие решения
неизвестны, оказывается, что уравнение (2.20) можно решить в явном виде,
если Q (р) опять является квадратичной функцией. Умножив уравнение (2.20)
на с' (р), его можно переписать в виде
ct + ссх = vc'(p)pxx = \схх - vc"(p)p?. (2.27)
Если Q (р) - квадратичная функция, то с (р) - линейная функция от р и с
"(р) = 0, откуда имеем
cf + ссх = \схя. (2.28)
Это уравнение Бюргерса, и его можно решить в явном виде; основные
результаты приведены в гл. 4. Пока мы примем это во внимание при изучении
разрывных решений уравнения (2.2). учитывая, что для очень слабых ударных
волн подход, связанный с разрывными решениями, неприемлем. В этом случае
можно аппроксимировать Q (р) квадратичной функцией и использовать
уравнение Бюргерса.
Рассуждения этого параграфа существенно опираются на условие v > 0. Как
отмечалось ранее, оно необходимо для устойчивости задачи. Однако для
потока транспорта и приливных волн имеют место интересные случаи
неустойчивости, которые будут обсуждены в гл. 3.
2.5. Слабые ударные волны
В ряде случаев ударные волны являются слабыми, так что (рг - Pi)/pi мало,
но все Hie они не настолько слабы, чтобы их нельзя было описывать как
разрывы. Полезно привести для таких случаев некоторые приближенные
выражения.
Когда интенсивность ударной волны (р2 - pi)/pi стремится к 0, скорость
ударной волны
U _ @ (Рг) Q (р<)
Рг - Pi
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
42
стремится к характеристической скорости
с^=^г-
Для слабых волн выражение для скорости ударной волны U можно разложить в
ряд Тейлора по степеням (р2 - р1)/р1, что дает
U = Q' (рД + V, (р2 - рД Q" (Pi) + О (р2 - рД2.
Скорость распространения с (р2) = Q' (р2) также можно разложить в ряд
Тейлора
с (р2) = с (Pl) + (р2 - рх) Q" (рх) + О (р2 - pi)2.
Следовательно,
U = V2 (Cj -f с2) О (р2 - Pi)2j (2.29)
где сг = с (pj и с2 - с (р2). В этом приближении скорость ударной волны
представляет собой среднее арифметическое характеристических скоростей на
сторонах разрыва. В (х, ^-плоскости кривая, по которой распространяется
разрыв, делит пополам угол, образованный характеристиками,
пересекающимися на зтой кривой.
Это свойство не только полезно при графическом изображении разрывов, но и
упрощает аналитическое определение положения разрыва. Если Q (р) -
квадратичная функция, то это соотношение, очевидно, является точным.
2.6. Условие опрокидывания
Непрерывная волна опрокидывается и приводит к разрыву тогда и только
тогда, когда скорость распространения с убывает с увеличением х.
Следовательно, при наличии разрыва
c2>U> сд (2.30)
здесь все скоростисчитаются положительными, еслионинаправлены в сторону
возрастания х, индексом 1 отмечено значение с непосредственно перед
разрывом (т. е. со стороны больших значений х), а индексом 2-значение с
сразу за разрывом.Описываемая этим разрывом ударная волна вызывает
увеличение скорости с, которая является сверхзвуковой для наблюдателя,
находящегося перед волной, и дозвуковой для наблюдателя, находящегося эа
волной.
Рассматривая только условия па разрыве, можпо допустить случай с2<с1.
Однако ударная волна с с2<с1 не может сформиро-
2.6. Условие опрокидывания
43
ваться из непрерывной волны и в ней нет необходимости. Поэтому такие
волны исключаются из рассмотрения.
В этих рассуждениях есть один спорный момент, поскольку представленное на
рис. 2.5 решение можно осуществить с с2 < сх (с помощью некоего сложного
и, возможно, весьма малореалистичного механизма). Конечно, мы уже указали
в (2.9) и на рис. 2.6 подходящее непрерывное решение для таких начальных
условий. Тем не менее, будучи особо настойчивым, можно утверждать, что на
рис. 2.5 изображено другое допустимое решение.
Возражение состоит в том, что предлагаемое решение неустойчиво. Это
значит, что малое возмущение переведет разрывное решение в нечто
совершенно иное,- соответствующее вееру характеристик решение вида (2.9).
Это "аргумент неустойчивости формы", являющийся дополнением к "аргументу
образования". Неустойчивость не будет разбираться подробно в этой главе,
поскольку аргумент образования достаточно убедителен и недвусмыслен. Для
уравнений высших порядков условия образования разрыва изучать становится
труднее, и аргумент неустойчивости иногда позволяет проще решить вопрос о
возможности существования данного разрыва, на котором выполняются
надлежащие условия.
Для ударных волн в газовой динамике неравенство, соответствующее
неравенству (2.30), означает, что при переходе газа через ударную волну
его энтропия возрастает. Это условие возрастания энтропии было первым
доводом в пользу необратимости ударных волн, т. е. того, что переходный
процесс в ударной волне происходит только в одном направлении.
Однако условия, подобные (2.30), носят более общий характер. В некоторых
задачах не существует очевидного аналога энтропии, в других, подобных
задачам магнитной газовой динамики, условие возрастания энтропии не
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed