Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро
развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16.
Одним из наиболее интересных вопросов нелинейной оптики является задача
самофокусировки, в которой получается уравнение (1.41). Уравнение (1-40),
в частности так называемое уравнение Sin-Гордона
Фи - фжж + sin ф = 0, (1.42)
также встречается в ряде областей. Оба эти уравнения, как и уравнение
Кортевега - де Фриза, в качестве предельных решений имеют решения в виде
уединенной волны. Уединенные волны всегда вызывают очевидный интерес,
поскольку они представляют чисто нелинейный эффект и не имеют аналога в
линейной теории диспергирующих систем. Но до самого последнего времени
кроме этого мало что было известно.
Гл. 1. Введение и общий обзор
22
В настоящее время благодаря замечательной работе Гарднера, Грина,
Крускала и Миуры [1], посвященной уравнению Кортевега - де Фриза, а также
трудам Перринга и Скирма [1] и Дж. Лэмба [1, 2], посвященным уравнению
Sin-Гордона, были найдены семейства точных решений, описывающих
взаимодействие уединенных волн. Удивительно то, что уединенные волны
сохраняют при взаимодействиях свою индивидуальность и расходятся,
сохранив исходные формы и скорости. Эти решения составляют лишь один
класс решений, полученных при более общем подходе к данным уравнениям;
дальнейшие сравнительно полные результаты относятся к решениям,
удовлетворяющим произвольным начальным условиям. Захаров и Шабат [1]
распространили методы Гарднера с соавторами на кубическое уравнение
Шредингера (1.41) и получили аналогичные результаты. Обзор этих важных и
глубоких исследований приводится в гл. 17.
ЧАСТЬ I
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Глава 2
ВОЛНЫ И УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Подробное обсуждение гиперболических волн мы начнем с изучения уравнений
первого порядка. Как уже было указано в гл. 1, простейшее волновое
уравнение имеет вид
Р< + соРж = °. с0 = const. (2.1)
Когда выводится это уравнение, зависимая переменная обычно оказывается
плотностью чего-либо, поэтому вместо общего символа ф, принятого во
введении, мы используем здесь символ р. Общее решение уравнения (2.1)
имеет вид р = / (х - c0t), где / (х) - произвольная функция, так что
решение каждой конкретной задачи состоит в выборе функции /,
удовлетворяющей заданным начальным или граничным условиям. Оно, очевидно,
описывает волновое движение, поскольку исходный профиль / (х) за время t
передвинется без изменения формы вправо на расстояние c0t. В двух точках,
находящихся на расстоянии s друг от друга, одинаковое возмущение будет
зарегистрировано с задержкой по времени, равной sic0.
Хотя этот линейный случай почти тривиален, его нелинейный аналог
Р< + с (р) рж = 0, (2.2)
где с (р) - заданная функция аргумента р, несомненно, не таков и его
изучение приводит к большинству основных идей нелинейных гиперболических
волн. Как указывалось выше, многие классические волновые процессы
описываются уравнениями второго или более высокого порядка, такими, как
волновое уравнение с,,у2ф = ф{4, хотя удивительно большое число
физических задач приводит непосредственно к уравнению (2.2) или его
обобщениям. Примеры будут приведены после предварительного обсуждения
свойств решения. Даже в задачах более высокого порядка часто ищут частные
решения или приближения, связанные с уравнением (2.2).
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
24
Z.I. Непрерывные решения
Один из подходов к решению уравнения (2.2) состоит в следующем.
Рассмотрим функцию р (х, t) на (ж, ^-плоскости и обратим внимание на то,
что рt + с (р) рж представляет собой полную производную функции р вдоль
кривой, которая в каждой своей точке имеет наклон
? = <Ф> ' (2.3)
Вдоль каждой кривой, лежащей на (ж, ^-плоскости, можно рассматривать жир
как функции от t, так что полная производная функции р равна
dp др . dx dp
dt dt dt dx
Использования символа полной производной достаточно для выделения
случаев, когда жир рассматриваются как функции от t вдоль некоторой
кривой; введение для каждого такого случая новых обозначений в конце
концов становится неудобным.
Рассмотрим теперь кривую Чё на (ж, ^-плоскости, удовлетворяющую уравнению
(2.3). Конечно, такую кривую нельзя заранее найти в явном виде, поскольку
уравнение (2.3) содержит неизвестные нам значения р на этой кривой.
Однако ее рассмотрение приведет нас к одновременному построению возможной
кривой Ч& и решения р на ней. Из выражепия для полной производной и из
уравнения (2.2) получаем, что на этой кривой
1 = 0, ! = с(р). (2.4)
Прежде всего заметим, что на Ч& функция р сохраняет постоянное значение.
Отсюда следует, что и с (р) остается постоянной на ё, и, следовательно,
кривая Ч? на (ж,1'^-плоскости представляет собой прямую с наклоном с (р).
Таким образом, общее решение уравнения (2.2) сводится к построению на (ж,
/)-плоекости семейства прямых, каждая из которых имеет наклон с (р),
соответствующий значению функции р на ней. Это легко делается в любой
