Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конкретной задаче.
Возьмем, например, задачу с начальным условием р = / (ж), ? =
0, - оо<ж"<ос,
и обратимся к (ж, ^-диаграмме на рис. 2.1. Если какая-либо прямая Ч&
пересекает ось Ох в точке х = ?, то р = / (?) на всей этой прямой. При
этом наклон данной прямой равен с (/(?)), что мы будем обозначать через F
(|). Таким образом, F (|) является известной функцией от вычисляемой при
помощи функции с (р) из
2.1. Непрерывные решения
25
исходного уравнения и функции / (|), заданной начальным условием.
Уравнение кривой % имеет вид
x=l + F(l)t.
Оно выделяет типичную кривую, причем значение функции р на ней равно /
(|). Меняя параметр §, получаем все семейство кривых
р = / (|), c = F(Z) = c(f (?)), (2.5)
каждая из которых описывается уравнением
(r) = I + F (?) t. (2.6>
Теперь можно изменить точку зрения и рассматривать формулы (2.5) и
(2.6) как аналитическое выражение для решения, не за-
Рис. 2.1. Диаграмма характеристик для нелинейных волн.
висящее от конкретного способа построения. Это значит, что величина р
определяется равенствами (2.5), где ? (х, t) неявно задается уравнением
(2.6). Проверим, что эти равенства действительно-определяют решение. Из
(2.5) имеем
Р< = /'(I) It, рж = /'Ш 1х, а дифференцируя по х и t равенство (2.6),
получаем
0 = F (|) + {1 + F' (|) t} ?(,
1 = {1 + F\l) t} tx.
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
26
¦Следовательно,
(2.7)
откуда
Pt 'т' с (р) - О,
поскольку с (р) = F (|). Начальное условие р = / (х) выполнено, так как f
= х при t = 0.
Кривые, использованные при построении этого решения, являются
характеристиками рассматриваемого уравнения. Аналогичные характеристики
играют важную роль во всех задачах, ¦связанных с гиперболическими
дифференциальными уравнениями. В общем случае решение не обязательно
остается постоянным
'Рис. 2.2. Опрокидывающаяся волна. Построены профили, соответствующие
моментам времени 0, ?,, ?в, ?3 (см. рис. 2.1).
•вдоль характеристик. Это имеет место в частном случае уравнения (2.2),
но не является определяющим свойством характеристик. Общее определение
будет дано ниже, а пока что нам удобно называть характеристиками кривые,
заданные уравнением (2.3).
Основная черта волнового процесса заключается в том, что некоторое
характерное возмущение движется с конечной скоростью. Для гиперболических
уравнений это явление связано с характеристиками. Каждая характеристика в
(х, ^-пространстве ¦описывает некоторую волну в ^-пространстве, а
поведение решения на характеристике соответствует идее переноса этой
волновой информации. В этом плане равенства (2.4) можно трактовать как
утверждение, что различные значения р "распространяются" со скоростью с
(р). Действительно, решение в момент времени t можно построить,
передвинув каждую точку на исходной кривой р = == / (х) на расстояние с
(р) t вправо, причем эти расстояния различны для различных значений р.
Это показано на рис. 2.2 для случая с' (р) > 0; соответствующие моменты
времени отмечены па рис. 2.1. Зависимость с от р приводит к типичному
нелинейному
о
2.1. Непрерывные решения
27
эффекту: искажению профиля распространяющейся волны. При с' (р) > 0
большие значения р распространяются быстрее, чем малые. При с' (р) < 0
большие значения р распространяются медленнее, чем малые, и искажение
волны имеет вид, противоположный изображенному на рис. 2.2. В линейном
случае скорость с постоянна и волна перемещается на расстояние ct без
изменения формы.
Из рис. 2.2 видно, что наши рассуждения далеко не полны. Любая
сжимающаяся часть волны, у которой скорость распространения является
убывающей функцией от х, обязательно "опрокидывается", давая трехзначное
решение р (х, t). Опрокидъшание начинается в указанный на рис. 2.2 момент
времени t - tB, когда на профиле р впервые появляется точка с
вертикальной касательной. Аналитическое решение (2.7) подтверждает это и
позволяет определить время начала опрокидывания t в. На каждой
характеристике, на которой F' (|) <0, производные рж и р4 обращаются в
бесконечность, когда
t= L_
F' (6) *
Следовательно, опрокидывание впервые происходит на характеристике | = |Б,
для которой F' (|) < 0 и | F' (|) | принимает наибольшее значение; при
этом время начала первого опрокидывания равно
Ьв = ~ Г (1В) • (2'8)
За развитием этого процесса можно проследить и в (х, ^-плоскости.
Сжимающаяся часть волны с F' (|) <; 0 имеет сходящиеся характеристики;
поскольку характеристики являются прямыми, то они в конце концов
пересекаются, как на рис. 2.1, образуя область, где решение многозначно.
Эту область можно рассматривать как складку на (х, ^-плоскости, состоящую
из трех листов с различными значениями р на каждом из них. Границей этой
области является огибающая характеристик. Семейство характеристик
определяется уравнением (2.6), где | - параметр. Условие пересечения двух
соседних характеристик ? и | + 6| в некоторой точке (х, t) состоит в том,
что равенства
х = I + F (|) t
и
