Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в каждом из интервалов, то при хх->- s+, х2 -> s~ интегралы
стремятся к нулю. Следовательно,
q (s~, t) - q (s+, t) = (p (s~, t) - p (s+, t)} s.
Условимся обозначать индексом 1 величины перед разрывом и индексом 2 за
ним. Тогда, если U - скорость распространения разрыва, т. е. х, то
q% Qi - U (р2 - Pi)- (2.15)
Это условие можно также переписать в виде
-U [р] + [д] = 0, (2.16)
где скобки обозначают скачок данной величины. В этой форме ясно видно
соответствие между полученным условием на линии разрыва и
дифференциальным уравнением (2.11), а именно соответствие
4-Ь Ь (2.17)
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
36
Теперь мы можем расширить понятие решения уравнения (2.10) и допустить
разрывы указанного вида. В любой области непрерывности решения уравнение
(2.11) останется справедливым и пред-
Р^Рг
q=qi=Q(pi)
q=ch~Q((,'i)
Рис. 2.5. Параметры течения для движущегося разрыва.
e=pz
Я~Чг~иРг
Р=Рл
Я=ЯГиР-1
Рис. 2.6. Параметры течения для неподвижного разрыва.
положение (2.12) можно сохранить. Поскольку в области непрерывности q = Q
(р), на сторонах любого разрыва q2 = Q (р2) и Qi = Q (pi) и условие
(2.15) можно переписать так:
<?(Ра)-C(Pi) /2 jg\
Рг-Pi
Теперь задача сводится к введению в решение (2.5), (2.6) разрывов таким
образом, чтобы выполнялось равенство (2.18) и не возникали многозначные
решения.
В простейшем случае имеем
P = Pi, c=c(p1) = clJ .r>0, К_0 р = р2, с = с (р2) = с2, х < 0, J
где с2 > Cj. Опрокидывающееся решение приведено на рис. 2.3. Теперь мы
можем построить однозначное решение в виде разрыва, движущегося со
скоростью (2.18):
р = plt х > Ut, р = р2, х < Ut,
как схематически представлено на рис. 2.5.
Обычным способом вывода условия на разрыве является рассмотрение этого
частного решения в системе отсчета, в которой разрыв неподвижен, как
показано на рис. 2.6. Относительные расходы при этом равны q1 - f/pj и д2
- Нр2. Закон сохранения можно сразу записать в виде
Qi - UPi = - иРп
откуда и следует (2.15).
2.4. Структура ударной волны
37
Прежде чем перейти к общему методу введения разрывов, рассмотрим задачу с
другой точки зрения, считая, что дифференциальное уравнение (2.11)
справедливо, а соотношение (2.12) нарушается.
2.4:. Структура ударной волны
В качестве частного случая будет полезно составить более точное описание
простого разрывного решения, представленного на рис. 2.5, и провести его
исследование. Это и является задачей установления "структуры ударной
волны".
Во многих задачах теории кинематических волн более точное приближение
получается при допущении, что q зависит не только от плотности р, но и от
ее градиента рж. Проще всего положить
Q = Q (Р) - vPx, (2-19)
где v - некоторая постоянная. Для потока транспорта, например, можно
утверждать, что водители снижают скорость при увеличении плотности машин
впереди, и наоборот. Эти рассуждения показывают, что v следует выбирать
положительным, а ниже мы увидим, что знак v имеет важное значение. Если в
некоторых безразмерных переменных, выбранных надлежащим образом, v мало,
то (2.12) является хорошим приближением при условии, что значение рх не
слишком велико. При опрокидывании рж становится большим и поправочный
член начинает играть доминирующую роль, сколь бы малым ни было v.
Рассмотрим теперь непрерывные решения при такой формулировке задачи. В
силу (2.11) и (2.19) они удовлетворяют уравнению
Pt + с (Р) Рх = vp**, с (р) = Q'(р). (2.20)
Член с (р) рх в данном уравнении приводит к росту крутизны и
опрокидыванию. Напротив, член vpxx вводит диффузию, характерную для
уравнения теплопроводности
Р t ~ УРхх'
Для уравнения теплопроводности решение задачи Коши с начальной функцией в
виде ступеньки
p = pi, *>0,1
п М= 0 р = р2, хсО, )
имеет вид
а/*|/4 vt
P = Pz + Pi~-8 | e-&dZ,.
У л J
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
38
Оно описывает сглаженную ступеньку с предельными значениями р17 р2 при .г
-> + оо и крутизной, уменьшающейся, как (vt)~1/2. Две противоположные
тенденции нелинейного роста крутизны и диффузии объединяются уравнением
(2.20). Важность условия v > 0 видна на примере уравнения
теплопроводности; при v < 0 решения неустойчивы.
В рамках этого более точного подхода будем искать решение, заменяющее
решение, изображенное на рис. 2.5. Одна из очевидных идей - искать
решение со стационарным профилем вида
где U - постоянная, которую еще нужно определить. Тогда из (2.20) имеем
где А - постоянная интегрирования. Отсюда следует соотношение, неявно
определяющее р (X):
но качественное поведение р (X) легче установить непосредственно из
(2.21). Нас интересует возможность существования решения, стремящегося к
постоянным состояниям р рг при X -+ оо и р -> р2 при X - оо. Если
существует подобное решение с рх-^ 0 при X -> + с", то произвольные пока
постоянные U и А должны удовлетворять соотношениям
В частности,
Для такого решения связь между скоростью U и параметрами состояний на ±
оо оказывается в точности такой же, как и в условии на границе разрыва!
