Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
х = I + 6| + F (| + 6|) t
выполняются одновременно. В пределе 6| 0 они дают
а = ? + f ((c)* и 0 = 1 + Г (|) t,
т. е. неявные уравнения огибающей. Второе из этих соотношений указывает,
что огибающая образуется при t > 0 теми характери-
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
28
стиками, для которых F' (|) < 0. Минимальное значение t на этой огибающей
достигается при значении |, для которого -F' (|) имеет наибольшее
значение. Это время начала первого опрокидывания в соответствии с
равенством (2.8). Если F" (|) непрерывна, то огибающая имеет заострение
при t = tB, ?= |в, как можно усмотреть на рис. 2.1.
Рг
Р = Рг
Рис. 2.3. Центрированная волна сжатия с захлестыванием.
В предельном случае опрокидывание происходит, когда исходное
распределение имеет разрыв, причем значение с (р) за точкой разрыва
больше, чем перед ней. Если мы имеем исходные функции
f Рт, аг>0,
/(аИр" ,<0
F(x)
Ci=c(Pl),
ы,
а> 0,
х<С, 0
с с2 > сг, то опрокидывание наступает мгновенно. Это показано на рис. 2.3
для случая с' (р) > 0, р2 > рг. Область многозначности начинается прямо
из начала координат и ограничена характеристиками х - Cxt и х = c2t;
граница уже не имеет заострения, поскольку функция F и ее производные
имеют разрыв. Однако наш случай можно рассматривать как предел
последовательности сгла-
2.1. Непрерывные решения
29
женных ступенек, причем точка начала опрокидывания приближается к началу
координат по мере того, как исходный профиль приближается к разрывной
ступеньке.
ОД С другой стороны, если исходная ступенька соответствует расширению (с2
< С]), то существует вполне пригодное непрерывное
Р=Рл
Рис. 2.4. Центрированная волна расширения.
решение. Его можно получить, переходя в равенствах (2.5) и (2 6) к
пределу, в котором все значения F, заключенные между с2 и с,, принимаются
на характеристиках, проходящих]через начало координат. Это соответствует
вееру характеристик на (х, ?)-плоскости, как показано на рис. 2.4. Каждая
характеристика этого веера имеет свой наклон F, но все они имеют одно и
то же значение |. Функция F имеет вид ступеньки, но мы используем все
значения F, заключенные между с2 и сг, и считаем, что всем этим значениям
отвечает | = 0. Решения уравнений (2.5) и (2.6) в этом случае имеют вид
с = F, х = Ft при с2 < F < Cj.
Исключая F, получаем простое явное выражение для с
X _ X ^
°-Т' C2<T<Cl.
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
3"
Полное решение для с имеет вид
(2.9)
Решая уравнение с = с (р), определим р. Для сжимающейся ступеньки с Сг~>
сх веер на (х, ^-плоскости "выворачивается", что приводит к
захлестыванию, изображенному на рис. 2.3.
В большинстве физических задач, в которых встречается это уравнение,
функция р (х, t) является плотностью некоторой среды и по самой своей
сущности однозначна. Поэтому, когда начинается опрокидывание, уравнение
(2.2) перестает правильно описывать физический процесс. Даже в случаях,
подобных волнам на воде, где многозначное решение для высоты поверхности
можно по крайней мере интерпретировать, оказывается, что уравнение (2.2)
не подходит для описания процесса. Дело в том, что какое-либо из
предположений или приближенных соотношений, лежащих в основе уравнения
(2.2), перестает быть справедливым.
В принципе следует вернуться к физической постановке задачи, посмотреть,
что неверно, и вывести исправленное уравнение. Однако, как мы увидим в
дальнейшем, оказывается, что предыдущее решение можно спасти, допустив
наличие разрывных решений; в этом случае вместо многозначного
непрерывного решения будем иметь однозначное решение с разрывом первого
рода. Данная процедура требует некоторого расширения математического
понятия "решения" уравнения (2.2), поскольку, строго говоря, функция р не
имеет производных в точках разрыва. Такое расширение осуществляется при
помощи понятия "слабого решения".
Важно сознавать, однако, что в действительности дело заключается не
просто в математическом расширении понятия решения уравнения (2.2).
Нарушение непрерывности решения связано с нарушением некоторого
физического приближенного соотношения, и оба эти аспекта следует
рассматривать одновременно. Оказывается, например, что существуют
несколько подходящих с математической точки зрения семейств разрывных
решений, причем вопрос о единственности можно решить, только обратившись
к физической стороне задачи.
Ясно поэтому, что нельзя двигаться дальше, не обсудив предварительно
некоторые физические проблемы. Первоначальное развитие теории связано с
нелинейными волнами в газах и образованием ударных волн. Если пренебречь
вязкостью и теплопроводностью, то у уравнений газовой динамики появятся
опрокидывающиеся решения, подобные рассмотренным. В тот момент, когда
градиенты становятся большими, т. е. перед началом опрокидывания,
эффектами вязкости и теплопроводности уже нельзя пре-
2.2. Кинематические волны
31
небрегать. Эти эффекты можно включить в улучшенную теорию, и волны в этой
