Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разложений интеграла (1.23). При таком анализе ключевым понятием является
групповая скорость
(1-25)
Цуг волн, получающийся из] (1.23), не имеет постоянной длины волны; по-
прежнему существует целый интервал волновых чисел ос. В некотором смысле
(его еще нужно выяснить) различные волновые числа распространяются по
этому цугу волн со скоростью, равной групповой скорости (1.25).
Оказывается, что в аналогичном смысле энергия также распространяется с
групповой скоростью. Для истинно диспергирующих волн случай W со к
исключается, так что фазовая скорость (1-24) и групповая скорость
(1.25) не совпадают. При зтом в распространении волны доминирующую
роль играет именно групповая скорость.
Учитывая ее огромную важность и помня о неоднородных средах и нелинейных
волнах, желательно найти способы непосредственного определения групповой
скорости и ее свойств без промежуточного преобразования Фурье. На
интуитивном уровне это можно сделать очень просто, а в дальнейшем это
оправдывается. Предположим, что осциллирующий волновой пакет приближенно
описывается выражением
Ф - a cos 0, (1-26)
где а и 0 - функции от ж и t. Функция 0 (х, t) представляет собой "фазу",
определяющую положение точки между экстремальными значениями +1 на
полупериоде cos 0, а а (х, t) - амплитуду. В частном случае
монохроматического волнового пакета
а = const, 0 = хх - соt, со = W (к). (1-27)
В более общем случае определим локальное волновое число k (х, t) и
локальную частоту со (х, I) равенствами
к(х'г) = 1?' "(*"*)=-Ц-• (1.28)
Предположим теперь, что эти величины все еще связаны дисперсионным
соотношением
со = W (к); (1.29)
тогда получим для 0 уравнение
TC+W (§)=<>' f*-30"
решение которого определяет кинематические свойства волнового пакета:
Удобнее с помощью соотношений (1.28) исключить
2-01551
Гл. 1. Введение и общий обзор
18
0, что дает уравнение
?+?-0, (1-31>
и работать с системой уравнений (1.29) и (1.31). Подставив в уравнение
(1.31) W (к) вместо со, получим
*+С(*)?=0, _ (1.32>
где С (к) - групповая скорость, определяемая равенством (1.25). Это
уравнение для к является как раз простейшим нелинейным гиперболическим
уравнением вида (1.12)! Его можно интерпретировать как волновое уравнение
для распространения волнового числа к со скоростью С (к). В таком
завуалированном виде в диспергирующих волнах содержатся гиперболические
эффекты. Это позволяет использовать методы, описанные в части I книги,
для решения задач по диспергирующим волнам.
Предложенный здесь в основном интуитивный анализ групповой скорости легко
обобщается на случаи большего числа измерений и неоднородной среды, где
либо точные решения громоздки, либо их невозможно найти. В таких случаях
результаты обычно можно оправдать непосредственно,рассматривая их как
первые члены некоторого асимптотического решения. Эти основные вопросы
изучаются в гл. 11, причем специально подчеркивается роль групповой
скорости.
Как только введено понятие групповой скорости, в нашем распоряжении
оказывается удивительно простой, но мощный метод установления основных
свойств любой диспергирующей системы. Это иллюстрируется разнообразными
примерами, приведенными в гл. 12.
При помощи асимптотического разложения интеграла Фурье (1.23) легко
показать, что энергия передается обязательно с групповой скоростью. Для
возможности обобщений снова важно иметь прямые доказательства этого
фундаментального результата. Некоторые из них приводятся в гл. 11, но
полностью удовлетворительного подхода до недавних пор не существовало. В
самое последнее время решение этой задачи было получено как побочный
результат исследования аналогичных вопросов для нелинейных волн.
В целом для решения нелинейных задач требуются более мощные методы, и
постепенно была осознана возможность использования вариационных
принципов. Они, по-видимому, обеспечивают корректный математический
аппарат для выяснения ряда вопросов, связанных как с линейными, так и с
нелинейными задачами. Судя по успехам, достигнутым недавно при помощи
такого вариационного подхода, он привел к совершенно новому взгляду на
вещи. Этот подход в упрощенном виде для линейных волн излагается в гл.
11, а во всей общности описывается в гл. 14.
1.4. Нелинейная дисперсия
19
Промежуточная глава 13 посвящена волнам на воде. Это, пожалуй, самая
разнообразная и захватывающая область из всех, связанных с волновым
движением. Она включает широкий класс природных явлений в океанах и реках
и - при надлежащей интерпретации - охватывает гравитационные волны в
атмосфере и различных жидкостях. Она явилась стимулом для развития теории
диспергирующих волн и основой этой теории, сыграв в ней такую же роль,
какую газовая динамика сыграла в теории гиперболических волн. В
частности, все основные идеи теории нелинейных диспергирующих волн
возникли при изучении волн на воде.
1.4. Нелинейная дисперсия
В 1847 г. Стокс показал, что вертикальное отклонение т] поверхности
глубокой воды для плоского волнового пакета можно разложить по степеням
